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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知集合 A={−2,−1,0,1,2}A=\{-2,-1,0,1,2\}，B={x∣(x−1)(x+2)<0}B=\{x\mid (x-1)(x+2)<0\}，则 A∩BA\cap B 等于（ ）
A.
{−1,0}\{-1,0\}
B.
{0,1}\{0,1\}
C.
{−1,0,1}\{-1,0,1\}
D.
{0,1,2}\{0,1,2\}

2015 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02复数★☆☆☆☆
若 aa 为实数，且 (2+ai)(a−2i)=−4i(2+a\mathrm{i})(a-2\mathrm{i})=-4\mathrm{i}，则 a=a=（ ）
A.
−1-1
B.
00
C.
11
D.
22

2015 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03概率与统计★☆☆☆☆
根据下面给出的 20042004 年至 20132013 年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（ ）
A.
逐年比较，20082008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著
B.
20072007 年我国治理二氧化硫排放显现成效
C.
20062006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
D.
20062006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关

2015 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04数列★★☆☆☆
已知等比数列 {an}\{a_n\} 满足 a1=3a_1=3，a1+a3+a5=21a_1+a_3+a_5=21，则 a3+a5+a7=a_3+a_5+a_7=（ ）
A.
2121
B.
4242
C.
6363
D.
8484

2015 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05函数与初等函数★★☆☆☆
设函数
f(x)={1+log⁡2(2−x),x<1,2x−1,x⩾1,f(x)=\begin{cases} 1+\log_2(2-x), & x<1,\\ 2^{x-1}, & x\geqslant 1, \end{cases}
则 f(−2)+f(log⁡212)=f(-2)+f(\log_2 12)=（ ）
A.
33
B.
66
C.
99
D.
1212

2015 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06立体几何初步★★★☆☆
一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）
A.
18\frac{1}{8}
B.
17\frac{1}{7}
C.
16\frac{1}{6}
D.
15\frac{1}{5}

2015 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07解析几何★★☆☆☆
过三点 A(1,3)A(1,3)，B(4,2)B(4,2)，C(1,−7)C(1,-7) 的圆交 yy 轴于 MM，NN 两点，则 ∣MN∣=|MN|=（ ）
A.
262\sqrt{6}
B.
88
C.
464\sqrt{6}
D.
1010

2015 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08函数与初等函数★★☆☆☆
下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”. 执行该程序框图，若输入的 aa，bb 分别为 1414，1818，则输出的 a=a=（ ）
A.
00
B.
22
C.
44
D.
1414

2015 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09立体几何初步★★★☆☆
已知 AA，BB 是球 OO 的球面上两点，∠AOB=90∘\angle AOB=90^\circ，CC 为该球面上的动点，若三棱锥 O−ABCO-ABC 体积的最大值为 3636，则球 OO 的表面积为（ ）
A.
36π36\pi
B.
64π64\pi
C.
144π144\pi
D.
256π256\pi

2015 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10函数与初等函数★★★★☆
如图，长方形 ABCDABCD 的边 AB=2AB=2，BC=1BC=1，OO 是 ABAB 的中点，点 PP 沿着边 BCBC，CDCD 与 DADA 运动，记 ∠BOP=x\angle BOP=x. 将动点 PP 到 AA，BB 两点距离之和表示为 xx 的函数 f(x)f(x)，则 y=f(x)y=f(x) 的图象大致为（ ）
A.
\choicebitmap[width=0.15\paperwidth]{img/2015/national_paper_2_science/q10_optA.png}
B.
\choicebitmap[width=0.15\paperwidth]{img/2015/national_paper_2_science/q10_optB.png}
C.
\choicebitmap[width=0.15\paperwidth]{img/2015/national_paper_2_science/q10_optC.png}
D.
\choicebitmap[width=0.15\paperwidth]{img/2015/national_paper_2_science/q10_optD.png}

2015 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11解析几何★★★☆☆
已知 AA，BB 为双曲线 EE 的左，右顶点，点 MM 在 EE 上，△ABM\triangle ABM 为等腰三角形，且顶角为 120∘120^\circ，则 EE 的离心率为（ ）
A.
5\sqrt{5}
B.
22
C.
3\sqrt{3}
D.
2\sqrt{2}

2015 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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12导数及其应用★★★★☆
设函数 f′(x)f'(x) 是奇函数 f(x)f(x)（x∈Rx\in\mathbf{R}）的导函数，f(−1)=0f(-1)=0，当 x>0x>0 时，xf′(x)−f(x)<0xf'(x)-f(x)<0，则使得 f(x)>0f(x)>0 成立的 xx 的取值范围是（ ）
A.
(−∞,−1)∪(0,1)(-\infty,-1)\cup(0,1)
B.
(−1,0)∪(1,+∞)(-1,0)\cup(1,+\infty)
C.
(−∞,−1)∪(−1,0)(-\infty,-1)\cup(-1,0)
D.
(0,1)∪(1,+∞)(0,1)\cup(1,+\infty)

2015 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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13平面向量★☆☆☆☆
设向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 不平行，向量 λa+b\lambda\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b} 与 a+2b\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b} 平行，则实数 λ=\lambda=______.

2015 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14不等式★★☆☆☆
若 xx，yy 满足约束条件
{x−y+1⩾0,x−2y⩽0,x+2y−2⩽0,\begin{cases} x-y+1\geqslant 0,\\ x-2y\leqslant 0,\\ x+2y-2\leqslant 0, \end{cases}
则 z=x+yz=x+y 的最大值为______.

2015 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15计数原理与组合数学★★☆☆☆
(a+x)(1+x)4(a+x)(1+x)^4 的展开式中 xx 的奇数次幂项的系数之和为 3232，则 a=a=______.

2015 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16数列★★★★☆
设 SnS_n 是数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，且 a1=−1a_1=-1，an+1=SnSn+1a_{n+1}=S_nS_{n+1}，则 Sn=S_n=______.

2015 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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17三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，DD 是 BCBC 上的点，ADAD 平分 ∠BAC\angle BAC，△ABD\triangle ABD 面积是 △ADC\triangle ADC 面积的 22 倍.
(1) 求 sin⁡Bsin⁡C\frac{\sin B}{\sin C}； (2) 若 AD=1AD=1，DC=22DC=\frac{\sqrt{2}}{2}，求 BDBD 和 ACAC 的长.

2015 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
某公司为了解用户对其产品的满意度，从 AA，BB 两地区分别随机调查了 2020 个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：
AA 地区：6262 7373 8181 9292 9595 8585 7474 6464 5353 7676 7878 8686 9595 6666 9797 7878 8888 8282 7676 8989.
BB 地区：7373 8383 6262 5151 9191 4646 5353 7373 6464 8282 9393 4848 6565 8181 7474 5656 5454 7676 6565 7979.
(1) 根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）：
AA 地区BB 地区
55
66
77
88
99
(2) 根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：
记事件 CC：“AA 地区用户的满意度等级高于 BB 地区用户的满意度等级”. 假设两地区用户的评价结果相互独立. 根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求 CC 的概率.

2015 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★★☆
如图，长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，AB=16AB=16，BC=10BC=10，AA1=8AA_1=8，点 EE，FF 分别在 A1B1A_1B_1，D1C1D_1C_1 上，A1E=D1F=4A_1E=D_1F=4. 过点 EE，FF 的平面 α\alpha 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.
(1) 在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）； (2) 求直线 AFAF 与平面 α\alpha 所成角的正弦值.

2015 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
已知椭圆 CC：9x2+y2=m29x^2+y^2=m^2（m>0m>0），直线 ll 不过原点 OO 且不平行于坐标轴，ll 与 CC 有两个交点 AA，BB，线段 ABAB 的中点为 MM.
(1) 证明：直线 OMOM 的斜率与 ll 的斜率的乘积为定值； (2) 若 ll 过点 (m3,m)\left(\frac{m}{3},m\right)，延长线段 OMOM 与 CC 交于点 PP，四边形 OAPBOAPB 能否为平行四边形？若能，求此时 ll 的斜率；若不能，说明理由.

2015 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=emx+x2−mxf(x)=\mathrm{e}^{mx}+x^2-mx.
(1) 证明：f(x)f(x) 在 (−∞,0)(-\infty,0) 单调递减，在 (0,+∞)(0,+\infty) 单调递增； (2) 若对于任意 x1x_1，x2∈[−1,1]x_2\in[-1,1]，都有 ∣f(x1)−f(x2)∣⩽e−1\left|f(x_1)-f(x_2)\right|\leqslant \mathrm{e}-1，求 mm 的取值范围.

2015 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★★★☆
如图，OO 为等腰三角形 ABCABC 内一点，⊙O\odot O 与 △ABC\triangle ABC 的底边 BCBC 交于 MM，NN 两点，与底边上的高 ADAD 交于点 GG，且与 ABAB，ACAC 分别相切于 EE，FF 两点.
(1) 证明：EF∥BCEF\parallel BC； (2) 若 AGAG 等于 ⊙O\odot O 的半径，且 AE=MN=23AE=MN=2\sqrt{3}，求四边形 EBCFEBCF 的面积.

2015 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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23解析几何★★★☆☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，曲线 C1C_1：
{x=tcos⁡α,y=tsin⁡α,\begin{cases} x=t\cos\alpha,\\ y=t\sin\alpha, \end{cases}
（tt 为参数，t≠0t\neq 0），其中 0⩽α<π0\leqslant\alpha<\pi. 在以 OO 为极点，xx 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2C_2：ρ=2sin⁡θ\rho=2\sin\theta，C3C_3：ρ=23cos⁡θ\rho=2\sqrt{3}\cos\theta.
(1) 求 C2C_2 与 C3C_3 交点的直角坐标； (2) 若 C1C_1 与 C2C_2 相交于点 AA，C1C_1 与 C3C_3 相交于点 BB，求 ∣AB∣|AB| 的最大值.

2015 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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24不等式★★★☆☆
设 aa，bb，cc，dd 均为正数，且 a+b=c+da+b=c+d. 证明：
(1) 若 ab>cdab>cd，则 a+b>c+d\sqrt{a}+\sqrt{b}>\sqrt{c}+\sqrt{d}； (2) a+b>c+d\sqrt{a}+\sqrt{b}>\sqrt{c}+\sqrt{d} 是 ∣a−b∣<∣c−d∣\left|a-b\right|<\left|c-d\right| 的充要条件.

2015 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 24 题 · 解答题

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