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12
导数及其应用
★★★★☆
设函数
f
′
(
x
)
f'(x)
f
′
(
x
)
是奇函数
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
（
x
∈
R
x\in\mathbf{R}
x
∈
R
）的导函数，
f
(
−
1
)
=
0
f(-1)=0
f
(
−
1
)
=
0
，当
x
>
0
x>0
x
>
0
时，
x
f
′
(
x
)
−
f
(
x
)
<
0
xf'(x)-f(x)<0
x
f
′
(
x
)
−
f
(
x
)
<
0
，则使得
f
(
x
)
>
0
f(x)>0
f
(
x
)
>
0
成立的
x
x
x
的取值范围是（ ）
A.
(
−
∞
,
−
1
)
∪
(
0
,
1
)
(-\infty,-1)\cup(0,1)
(
−
∞
,
−
1
)
∪
(
0
,
1
)
B.
(
−
1
,
0
)
∪
(
1
,
+
∞
)
(-1,0)\cup(1,+\infty)
(
−
1
,
0
)
∪
(
1
,
+
∞
)
C.
(
−
∞
,
−
1
)
∪
(
−
1
,
0
)
(-\infty,-1)\cup(-1,0)
(
−
∞
,
−
1
)
∪
(
−
1
,
0
)
D.
(
0
,
1
)
∪
(
1
,
+
∞
)
(0,1)\cup(1,+\infty)
(
0
,
1
)
∪
(
1
,
+
∞
)
2015 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题
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21
导数及其应用
★★★★★
设函数
f
(
x
)
=
e
m
x
+
x
2
−
m
x
f(x)=\mathrm{e}^{mx}+x^2-mx
f
(
x
)
=
e
m
x
+
x
2
−
m
x
.
(1) 证明：
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
在
(
−
∞
,
0
)
(-\infty,0)
(
−
∞
,
0
)
单调递减，在
(
0
,
+
∞
)
(0,+\infty)
(
0
,
+
∞
)
单调递增； (2) 若对于任意
x
1
x_1
x
1
，
x
2
∈
[
−
1
,
1
]
x_2\in[-1,1]
x
2
∈
[
−
1
,
1
]
，都有
∣
f
(
x
1
)
−
f
(
x
2
)
∣
⩽
e
−
1
\left|f(x_1)-f(x_2)\right|\leqslant \mathrm{e}-1
∣
f
(
x
1
)
−
f
(
x
2
)
∣
⩽
e
−
1
，求
m
m
m
的取值范围.
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