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01函数与初等函数★★☆☆☆
y=2x2y=2\sqrt{x^2} 和 y=2xy=2x 是不是同一个函数？为什么？

1977 · 湖南 · 株洲·试点 · 第 1 题 · 解答题

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02三角函数★★☆☆☆
确定下列各式的符号：
(1) 1−sin⁡800∘1-\sin 800^\circ； (2) cos⁡20∘−sin⁡20∘\cos 20^\circ-\sin 20^\circ； (3) tan⁡288∘⋅tan⁡510∘\tan 288^\circ\cdot\tan 510^\circ.

1977 · 湖南 · 株洲·试点 · 第 2 题 · 解答题

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03指数函数与对数函数★☆☆☆☆
已知 xx，yy 都是实数，且 (2x−1)2+(y−8)2≤0\left(2x-1\right)^2+\left(y-8\right)^2\leq 0，求 log⁡2xy\log_2xy？

1977 · 湖南 · 株洲·试点 · 第 3 题 · 解答题

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04指数函数与对数函数★★☆☆☆
(log⁡320)2−6log⁡320+9\sqrt{\left(\log_3 20\right)^2-6\log_3 20+9}？

1977 · 湖南 · 株洲·试点 · 第 4 题 · 解答题

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05指数函数与对数函数★★☆☆☆
已知 log⁡1.57=a\log_{1.5}7=a，log⁡1.58=b\log_{1.5}8=b，求 log⁡561.5\log_{56}1.5？

1977 · 湖南 · 株洲·试点 · 第 5 题 · 解答题

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06指数函数与对数函数★★★☆☆
化简： (x−1−1x−1+1−x−1+1x−1−1)⋅(2−1−4−1x−1−4−1x)\left(\frac{x^{-1}-1}{x^{-1}+1}-\frac{x^{-1}+1}{x^{-1}-1}\right)\cdot\left(2^{-1}-4^{-1}x^{-1}-4^{-1}x\right).

1977 · 湖南 · 株洲·试点 · 第 6 题 · 解答题

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07函数与初等函数★★☆☆☆
hh 为何数时，方程 2hx2+(8h+1)x=−8h2hx^2+\left(8h+1\right)x=-8h 有两个不相等的实根？

1977 · 湖南 · 株洲·试点 · 第 7 题 · 解答题

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08三角函数★★☆☆☆
证明恒等式： 2sin⁡θ⋅sin⁡(π2−θ)+sin⁡(3π2+θ)1+sin⁡(π+θ)+sin⁡2(π−θ)−sin⁡2(π2+θ)=tan⁡(π2−θ)\frac{2\sin\theta\cdot\sin\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)+\sin\left(\frac{3\pi}{2}+\theta\right)}{1+\sin\left(\pi+\theta\right)+\sin^2\left(\pi-\theta\right)-\sin^2\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)}=\tan\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right).

1977 · 湖南 · 株洲·试点 · 第 8 题 · 解答题

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09立体几何初步★★☆☆☆
(1) 三个半径都是 RR 的圆两两外切，求过三个切点的三个圆弧所围成图形的面积. (2) 已知菱形面积为 392 cm2392\mathrm{~cm}^2，有一角为 150∘150^\circ，求边长.

1977 · 湖南 · 株洲·试点 · 第 9 题 · 解答题

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10三角函数★★★☆☆
在高 150 m150\mathrm{~m} 的山顶上测得正南两船的俯角分别为 15∘15^\circ 和 75∘75^\circ，求两船的距离.

1977 · 湖南 · 株洲·试点 · 第 10 题 · 解答题

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11不等式★★★☆☆
有某种农药一桶，倒出 8 升8\text{ 升} 后，用水补满；然后又倒出 4 升4\text{ 升}，再用水补满. 于是测得桶中农药与水之比为 18:718:7，求木桶的容积.

1977 · 湖南 · 株洲·试点 · 第 11 题 · 解答题

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12三角函数★★★★☆
甲船在 AA 点发现乙船在北偏东 60∘60^\circ 的 BB 处，乙船以每小时 a 里a\text{ 里} 的速度向北行驶，已知甲船速度是每小时 3a 里\sqrt{3}a\text{ 里}，问甲船应依什么方向前进，才能最快地与乙船相会？

1977 · 湖南 · 株洲·试点 · 第 12 题 · 解答题

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13解析几何★★☆☆☆
双曲线中心在原点，焦点在坐标轴上；焦距为 1414，顶点间距离为 1212，求双曲线方程.

1977 · 湖南 · 株洲·试点 · 第 13 题 · 解答题

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14解析几何★★★☆☆
从等腰 △ABC\triangle ABC 的顶点 AA 引直线交 BCBC 于 DD，交外接圆于 EE，求证 ABAB 是 ADAD 和 AEAE 的比例中项.

1977 · 湖南 · 株洲·试点 · 第 14 题 · 解答题

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15数列★★☆☆☆
如果一个直角三角形三边的长成等差数列，试证明三边的比是 3:4:53:4:5.

1977 · 湖南 · 株洲·试点 · 第 15 题 · 解答题

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16函数与初等函数★★☆☆☆
试求 f(x)=x4−42x3+435x2+113x−66f(x)=x^4-42x^3+435x^2+113x-66 和 g(x)=x2−x−462g(x)=x^2-x-462 的公根.

1977 · 湖南 · 株洲·试点 · 第 16 题 · 解答题

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17导数及其应用★★☆☆☆
求函数 y=(2x+1)12(−13x+1)3y=\left(2x+1\right)^{\frac{1}{2}}\left(-\frac{1}{3}x+1\right)^3 的导数.

1977 · 湖南 · 株洲·试点 · 第 17 题 · 解答题

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18解析几何★★★☆☆
有一窗户，顶部为一抛物线的拱形，窗宽 120 cm120\mathrm{~cm}，边高 150 cm150\mathrm{~cm}，顶点高 180 cm180\mathrm{~cm}，求它的面积.

1977 · 湖南 · 株洲·试点 · 第 18 题 · 解答题

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