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14
导数及其应用
★★☆☆☆
已知函数
f
(
x
)
=
a
x
3
+
x
+
1
f(x) = ax^3 + x + 1
f
(
x
)
=
a
x
3
+
x
+
1
的图象在点
(
1
,
f
(
1
)
)
(1, f(1))
(
1
,
f
(
1
))
处的切线过点
(
2
,
7
)
(2, 7)
(
2
,
7
)
，则
a
=
a =
a
=
______.
2015 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 14 题 · 填空题
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20
导数及其应用
★★★★★
设函数
f
(
x
)
=
e
2
x
−
a
ln
x
f(x)=\mathrm{e}^{2x}-a\ln x
f
(
x
)
=
e
2
x
−
a
ln
x
.
(1) 讨论
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
的导函数
f
′
(
x
)
f'(x)
f
′
(
x
)
的零点的个数； (2) 证明：当
a
>
0
a>0
a
>
0
时，
f
(
x
)
⩾
2
a
+
a
ln
2
a
f(x)\geqslant2a+a\ln\frac{2}{a}
f
(
x
)
⩾
2
a
+
a
ln
a
2
.
2015 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题
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