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10函数与初等函数★★☆☆☆
已知函数
f(x)={2x−1−2,x⩽1,−log⁡2(x+1),x>1,f(x) = \begin{cases} 2^{x - 1} - 2, & x \leqslant 1,\\ -\log_2(x + 1), & x > 1, \end{cases}
且 f(a)=−3f(a) = -3，则 f(6−a)=f(6-a)=（ ）
A.
−74-\frac{7}{4}
B.
−54-\frac{5}{4}
C.
−34-\frac{3}{4}
D.
−14-\frac{1}{4}

2015 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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12函数与初等函数★★★☆☆
设函数 y=f(x)y = f(x) 的图象与 y=2x+ay = 2^{x + a} 的图象关于直线 y=−xy = -x 对称，且 f(−2)+f(−4)=1f(-2) + f(-4) = 1，则 a=a =（ ）
A.
−1-1
B.
11
C.
22
D.
44

2015 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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19概率与统计★★★☆☆
某公司为确定下一年度投入某产品的宣传费，需了解年宣传费 xx（单位：千元\text{千元}）对年销售量 yy（单位：t\mathrm{t}）和年利润 zz（单位：千元\text{千元}）的影响. 对近 88 年的年宣传费 xix_i 和年销售量 yiy_i（i=1i = 1，22，⋯\cdots，88）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
表中 wi=xiw_i = \sqrt{x_i}，w‾=18∑i=18wi\overline{w} = \frac{1}{8}\sum_{i=1}^{8}w_i.
(1) 根据散点图判断，y=a+bxy = a + bx 与 y=c+dxy = c + d\sqrt{x} 哪一个适宜作为年销售量 yy 关于年宣传费 xx 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） (2) 根据（1）的判断结果及表中数据，建立 yy 关于 xx 的回归方程； (3) 已知这种产品的年利润 zz 与 xx，yy 的关系为 z=0.2y−xz = 0.2y - x. 根据（2）的结果回答下列问题：
(i) 年宣传费 x=49x = 49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？ (ii) 年宣传费 xx 为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据 (u1,v1)(u_{1},v_{1})，(u2,v2)(u_{2},v_{2})，…\dots，(un,vn)(u_{n},v_{n})，其回归直线 v=α+βuv = \alpha + \beta u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 β^=∑i=1n(ui−uˉ)(vi−vˉ)∑i=1n(ui−uˉ)2\hat{\beta} = \frac{\sum_{i=1}^{n}(u_i - \bar{u})(v_i - \bar{v})}{\sum_{i=1}^{n}(u_i - \bar{u})^2}，α^=vˉ−β^uˉ\hat{\alpha} = \bar{v} - \hat{\beta}\bar{u}.

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20导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=e2x−aln⁡xf(x)=\mathrm{e}^{2x}-a\ln x.
(1) 讨论 f(x)f(x) 的导函数 f′(x)f'(x) 的零点的个数； (2) 证明：当 a>0a>0 时，f(x)⩾2a+aln⁡2af(x)\geqslant2a+a\ln\frac{2}{a}.

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24不等式★★★★☆
已知函数 f(x)=∣x+1∣−2∣x−a∣f(x) = |x + 1| - 2|x - a|，a>0a > 0.
(1) 当 a=1a = 1 时，求不等式 f(x)>1f(x) > 1 的解集； (2) 若 f(x)f(x) 的图象与 xx 轴围成的三角形面积大于 66，求 aa 的取值范围.

2015 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 24 题 · 解答题

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