如果 $3$ 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这 $3$ 个数为一组勾股数，从 $1$，$2$，$3$，$4$，$5$ 中任取 $3$ 个不同的数，则这 $3$ 个数构成一组勾股数的概率为（ ）

某公司为确定下一年度投入某产品的宣传费，需了解年宣传费 $x$（单位：$\text{千元}$）对年销售量 $y$（单位：$\mathrm{t}$）和年利润 $z$（单位：$\text{千元}$）的影响. 对近 $8$ 年的年宣传费 $x_i$ 和年销售量 $y_i$（$i = 1$，$2$，$\cdots$，$8$）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.

表中 $w_i = \sqrt{x_i}$，$\overline{w} = \frac{1}{8}\sum_{i=1}^{8}w_i$.

(1) 根据散点图判断，$y = a + bx$ 与 $y = c + d\sqrt{x}$ 哪一个适宜作为年销售量 $y$ 关于年宣传费 $x$ 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） (2) 根据（1）的判断结果及表中数据，建立 $y$ 关于 $x$ 的回归方程； (3) 已知这种产品的年利润 $z$ 与 $x$，$y$ 的关系为 $z = 0.2y - x$. 根据（2）的结果回答下列问题：

(i) 年宣传费 $x = 49$ 时，年销售量及年利润的预报值是多少？ (ii) 年宣传费 $x$ 为何值时，年利润的预报值最大？

附：对于一组数据 $(u_{1},v_{1})$，$(u_{2},v_{2})$，$\dots$，$(u_{n},v_{n})$，其回归直线 $v = \alpha + \beta u$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 $\hat{\beta} = \frac{\sum_{i=1}^{n}(u_i - \bar{u})(v_i - \bar{v})}{\sum_{i=1}^{n}(u_i - \bar{u})^2}$，$\hat{\alpha} = \bar{v} - \hat{\beta}\bar{u}$.