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01三角函数★☆☆☆☆
已知 tan⁡θ=2\tan\theta=\sqrt2，求 cos⁡θ+sin⁡θcos⁡θ−sin⁡θ\dfrac{\cos\theta+\sin\theta}{\cos\theta-\sin\theta} 的值.

1963 · 全国 · 第 1 题 · 解答题

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02复数★★☆☆☆
(1) 求出复数 1+3i1+\sqrt3\mathrm{i} 的模数和辐角. (2) 在直角坐标系 XOYXOY 所在的平面内，以 AA 点表示复数 1+3i1+\sqrt3\mathrm{i}，把 OAOA 绕着 OO 点按反时针方向旋转 150∘150^\circ，设 AA 点到达的位置为 BB，写出 BB 点所表示的复数的代数式.

1963 · 全国 · 第 2 题 · 解答题

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03★☆☆☆☆
如图，ABAB 为半圆的直径，CD⊥ABCD\perp AB. 已知 AB=1AB=1，AC:CB=4:1AC:CB=4:1，求 CDCD.

1963 · 全国 · 第 3 题 · 解答题

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04立体几何初步★★☆☆☆
从二面角内任意一点向二面角的两个面作垂线，求证这两条垂线所决定的平面垂直于二面角的棱（要求画图）.

1963 · 全国 · 第 4 题 · 解答题

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05指数函数与对数函数★★☆☆☆
利用下列常用对数表，计算 23.28−1.123.28^{-1.1}.
\begin{array}{c} \hline \multicolumn{20}{|c|}{对数表} \\ \hline $N$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline 23 & 3617 & 3636 & 3655 & 3674 & 3692 & 3711 & 3729 & 3747 & 3766 & 3784 & 2 & 4 & 6 & 7 & 9 & 11 & 13 & 15 & 17 \\ 24 & 3802 & 3820 & 3838 & 3856 & 3874 & 3892 & 3909 & 3927 & 3945 & 3962 & 2 & 4 & 5 & 7 & 9 & 11 & 12 & 14 & 16 \\ 25 & 3979 & 3997 & 4014 & 4031 & 4048 & 4065 & 4082 & 4099 & 4116 & 4133 & 2 & 3 & 5 & 7 & 9 & 10 & 12 & 14 & 15 \\ \hline \end{array}
\begin{array}{c} \hline \multicolumn{20}{|c|}{反对数表} \\ \hline $m$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline .48 & 3020 & 3027 & 3034 & 3041 & 3048 & 3055 & 3062 & 3069 & 3076 & 3083 & 1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 4 & 5 & 6 & 6 \\ .49 & 3090 & 3097 & 3105 & 3112 & 3119 & 3126 & 3133 & 3141 & 3148 & 3155 & 1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 4 & 5 & 6 & 6 \\ .50 & 3162 & 3170 & 3177 & 3184 & 3192 & 3199 & 3206 & 3214 & 3221 & 3228 & 1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ \hline \end{array}

1963 · 全国 · 第 5 题 · 解答题

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06三角函数★★★☆☆
解方程 sin⁡3x−sin⁡x+cos⁡2x=0\sin 3x-\sin x+\cos 2x=0.

1963 · 全国 · 第 6 题 · 解答题

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07计数原理与组合数学★★★☆☆
用 11，22，33，44，77，99 组成没有重复数字的五位数，问：
(1) 这样的五位数一共有多少个？ (2) 在这些五位数中，有多少个是偶数？ (3) 在这些五位数中，有多少个是 33 的倍数？

1963 · 全国 · 第 7 题 · 解答题

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08不等式★★★☆☆
解方程组：
{x2−2xy−y2=1,xy+3=x\begin{cases} x^2-2xy-y^2=1,\\ \sqrt{xy+3}=x \end{cases}
（限定在实数范围内）.

1963 · 全国 · 第 8 题 · 解答题

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09解析几何★★★☆☆
如图，线段 CDCD 与 ⊙O\odot O 相交于 AA，BB 两点，且 AC=BDAC=BD，又 CECE，DFDF 分别与 ⊙O\odot O 相切于 EE，FF. 求证：△OEC≅△OFD\triangle OEC\cong\triangle OFD.

1963 · 全国 · 第 9 题 · 解答题

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10立体几何初步★★★★☆
半径为 11 的球，内切于圆锥（即直圆锥），已知圆锥的母线与底面的夹角是 2θ2\theta.
(1) 求证圆锥的母线与底面半径的和是 2tan⁡θ(1−tan⁡2θ)\dfrac{2}{\tan\theta\left(1-\tan^2\theta\right)}. (2) 求证圆锥的全面积是 2πtan⁡2θ(1−tan⁡2θ)\dfrac{2\pi}{\tan^2\theta\left(1-\tan^2\theta\right)}. (3) 当 θ\theta 是什么值的时候，圆锥的全面积最小？（θ\theta 用反三角函数表表示）
（图中 VV 是圆锥的顶点，VBVB 是母线，OO 是球心，AA 是球和圆锥底面的切点.）

1963 · 全国 · 第 10 题 · 解答题

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