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01复数★☆☆☆☆
i\mathrm{i} 是虚数单位，i1+i=\frac{\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}=（ ）
A.
12+12i\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\mathrm{i}
B.
−12+12i-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\mathrm{i}
C.
12−12i\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\mathrm{i}
D.
−12−12i-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\mathrm{i}

2006 · 天津 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02解析几何★★★☆☆
如果双曲线的两个焦点分别为 F1(−3,0)F_{1}(-3,0)，F2(3,0)F_{2}(3,0)，一条渐近线方程为 y=2xy=\sqrt{2}x，那么它的两条渐近线间的距离是（ ）
A.
636\sqrt{3}
B.
44
C.
22
D.
11

2006 · 天津 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03不等式★★★☆☆
设变量 xx，yy 满足约束条件
{y⩽x,x+y⩾2,y⩾3x−6,\begin{cases} y\leqslant x,\\ x+y\geqslant 2,\\ y\geqslant 3x-6, \end{cases}
则目标函数 z=2x+yz=2x+y 的最小值为（ ）
A.
22
B.
33
C.
44
D.
99

2006 · 天津 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04集合与逻辑基础★☆☆☆☆
设集合 M={x∣0<x⩽3}M=\{x\mid 0<x\leqslant 3\}，N={x∣0<x⩽2}N=\{x\mid 0<x\leqslant 2\}，那么“a∈Ma\in M”是“a∈Na\in N”的（ ）
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件

2006 · 天津 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05计数原理与组合数学★★☆☆☆
将 44 个颜色互不相同的球全部放入编号为 11 和 22 的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（ ）
A.
1010 种
B.
2020 种
C.
3636 种
D.
5252 种

2006 · 天津 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06立体几何初步★★☆☆☆
设 mm，nn 是两条不同的直线，α\alpha，β\beta 是两个不同的平面. 考查下列命题，其中正确的命题是（ ）
A.
m⊥α,n⊂β,m⊥n⇒α⊥βm\perp\alpha, n\subset\beta, m\perp n \Rightarrow \alpha\perp\beta
B.
α∥β\alpha\parallel\beta，m⊥αm\perp\alpha，n∥β⇒m⊥nn\parallel\beta \Rightarrow m\perp n
C.
α⊥β\alpha\perp\beta，m⊥αm\perp\alpha，n∥β⇒m⊥nn\parallel\beta \Rightarrow m\perp n
D.
α⊥β\alpha\perp\beta，α∩β=m\alpha\cap\beta=m，n⊥m⇒n⊥βn\perp m \Rightarrow n\perp\beta

2006 · 天津 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07数列★★★☆☆
已知数列 {an}\{a_{n}\}，{bn}\{b_{n}\} 都是公差为 11 的等差数列，其首项分别为 a1a_{1}，b1b_{1}，且 a1+b1=5a_{1}+b_{1}=5，a1a_{1}，b1∈N∗b_{1}\in\mathbf{N}^{*}. 设 Cn=abnC_{n}=a_{b_{n}}（n∈N∗n\in\mathbf{N}^{*}），则数列 {Cn}\{C_{n}\} 的前 1010 项和等于（ ）
A.
5555
B.
7070
C.
8585
D.
100100

2006 · 天津 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=asin⁡x−bcos⁡xf(x)=a\sin x-b\cos x（aa，bb 为常数，a≠0a\neq 0，x∈Rx\in\mathbf{R}）在 x=π4x=\frac{\pi}{4} 处取得最小值，则函数 y=f(3π4−x)y=f\left(\frac{3\pi}{4}-x\right) 是（ ）
A.
偶函数且它的图象关于点 (π,0)(\pi,0) 对称
B.
偶函数且它的图象关于点 (3π2,0)\left(\frac{3\pi}{2},0\right) 对称
C.
奇函数且它的图象关于点 (3π2,0)\left(\frac{3\pi}{2},0\right) 对称
D.
奇函数且它的图象关于点 (π,0)(\pi,0) 对称

2006 · 天津 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09导数及其应用★★★☆☆
函数 f(x)f(x) 的定义域为开区间 (a,b)(a,b)，导函数 f′(x)f'(x) 在 (a,b)(a,b) 内的图像如图所示，则函数 f(x)f(x) 在开区间 (a,b)(a,b) 内有极小值点（ ）
A.
11 个
B.
22 个
C.
33 个
D.
44 个

2006 · 天津 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10指数函数与对数函数★★★★☆
已知函数 y=f(x)y=f(x) 的图象与函数 y=axy=a^{x}（a>0a>0 且 a≠1a\neq 1）的图象关于直线 y=xy=x 对称，记 g(x)=f(x)[f(x)+f(2)−1]g(x)=f(x)[f(x)+f(2)-1]. 若 y=g(x)y=g(x) 在区间 [12,2]\left[\frac{1}{2},2\right] 上是增函数，则实数 aa 的取值范围是（ ）
A.
[2,+∞)\left[2,+\infty\right)
B.
(0,1)∪(1,2)(0,1)\cup(1,2)
C.
[12,1)\left[\frac{1}{2},1\right)
D.
(0,12]\left(0,\frac{1}{2}\right]

2006 · 天津 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11计数原理与组合数学★★☆☆☆
(2x+1x)7\left(2x+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{7} 的二项展开式中 xx 的系数是______. （用数字作答）

2006 · 天津 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12平面向量★★☆☆☆
设向量 a\boldsymbol{a} 与 b\boldsymbol{b} 的夹角为 θ\theta，且 a=(3,3)\boldsymbol{a}=(3,3)，2b−a=(−1,1)2\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a}=(-1,1)，则 cos⁡θ=\cos\theta=______.

2006 · 天津 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13立体几何初步★★★☆☆
如图，在正三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_{1}B_{1}C_{1} 中，AB=1AB=1. 若二面角 C−AB−C1C-AB-C_{1} 的大小为 60∘60^{\circ}，则点 CC 到平面 ABC1ABC_{1} 的距离为______.

2006 · 天津 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14解析几何★★☆☆☆
设直线 ax−y+3=0ax-y+3=0 与圆 (x−1)2+(y−2)2=4(x-1)^2+(y-2)^2=4 相交于 AA，BB 两点，且弦 ABAB 的长为 232\sqrt{3}，则 a=a=______.

2006 · 天津 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15不等式★★☆☆☆
某公司一年购买某种货物 400 吨400\text{ 吨}，每次都购买 x 吨x\text{ 吨}，运费为 4 万元/次4\text{ 万元/次}，一年的总存储费用为 4x 万元4x\text{ 万元}，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x=x=______吨\text{吨}.

2006 · 天津 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16平面向量★★★☆☆
设函数 f(x)=1x+1f(x)=\frac{1}{x+1}，点 A0A_{0} 表示坐标原点，点 An(n,f(n))A_{n}(n,f(n))（n∈N∗n\in\mathbf{N}^{*}）. 若向量 an=A0A1→+A1A2→+⋯+An−1An→\boldsymbol{a}_{n}=\overrightarrow{A_{0}A_{1}}+\overrightarrow{A_{1}A_{2}}+\cdots+\overrightarrow{A_{n-1}A_{n}}，θn\theta_{n} 是 an\boldsymbol{a}_{n} 与 i\boldsymbol{i} 的夹角（其中 i=(1,0)\boldsymbol{i}=(1,0)），设 Sn=tan⁡θ1+tan⁡θ2+⋯+tan⁡θnS_{n}=\tan\theta_{1}+\tan\theta_{2}+\cdots+\tan\theta_{n}，则 lim⁡n→∞Sn=\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_{n}=______.

2006 · 天津 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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17三角函数★★★☆☆
如图，在 △ABC\triangle ABC 中，AC=2AC=2，BC=1BC=1，cos⁡C=34\cos C=\frac{3}{4}.
(1) 求 ABAB 的值； (2) 求 sin⁡(2A+C)\sin(2A+C) 的值.

2006 · 天津 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为 35\frac{3}{5}，且每次射击的结果互不影响.
(1) 求射手在 33 次射击中，至少有两次连续击中目标的概率（用数字作答）； (2) 求射手第 33 次击中目标时，恰好射击了 44 次的概率（用数字作答）； (3) 设随机变量 ξ\xi 表示射手第 33 次击中目标时已射击的次数，求 ξ\xi 的分布列.

2006 · 天津 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★★☆
如图，在五面体 ABCDEFABCDEF 中，点 OO 是矩形 ABCDABCD 的对角线的交点，面 CDECDE 是等边三角形，棱 EF∥BCEF\parallel BC 且 EF=12BCEF=\frac{1}{2}BC.
(1) 证明：FO∥FO\parallel 平面 CDECDE； (2) 设 BC=3CDBC=\sqrt{3}CD，证明：EO⊥EO\perp 平面 CDFCDF.

2006 · 天津 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=4x3−3x2cos⁡θ+316cos⁡θf(x)=4x^{3}-3x^{2}\cos\theta+\frac{3}{16}\cos\theta，其中 x∈Rx\in\mathbf{R}，θ\theta 为参数，且 0⩽θ<2π0\leqslant\theta<2\pi.
(1) 当 cos⁡θ=0\cos\theta=0 时，判断函数 f(x)f(x) 是否有极值； (2) 要使函数 f(x)f(x) 的极小值大于零，求参数 θ\theta 的取值范围； (3) 若对（2）中所求的取值范围内的任意参数 θ\theta，函数 f(x)f(x) 在区间 (2a−1,a)(2a-1,a) 内都是增函数，求实数 aa 的取值范围.

2006 · 天津 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21数列★★★★★
已知数列 {xn}\{x_{n}\}，{yn}\{y_{n}\} 满足 x1=x2=1x_{1}=x_{2}=1，y1=y2=2y_{1}=y_{2}=2，并且 xn+1xn=λxnxn−1\frac{x_{n+1}}{x_n}=\lambda\frac{x_n}{x_{n-1}}，yn+1yn⩾λynyn−1\frac{y_{n+1}}{y_n}\geqslant\lambda\frac{y_n}{y_{n-1}}（λ\lambda 为非零参数，n=2n=2，33，44，⋯\cdots）.
(1) 若 x1x_{1}，x3x_{3}，x5x_{5} 成等比数列，求参数 λ\lambda 的值； (2) 当 λ>0\lambda>0 时，证明：xn+1yn+1⩽xnyn\frac{x_{n+1}}{y_{n+1}}\leqslant\frac{x_n}{y_n}（n∈N∗n\in\mathbf{N}^{*}）； (3) 当 λ>1\lambda>1，证明：x1−y1x2−y2+x2−y2x3−y3+⋯+xn−ynxn+1−yn+1<λλ−1\frac{x_{1}-y_{1}}{x_{2}-y_{2}}+\frac{x_{2}-y_{2}}{x_{3}-y_{3}}+\cdots+\frac{x_{n}-y_{n}}{x_{n+1}-y_{n+1}}<\frac{\lambda}{\lambda-1}（n∈N∗n\in\mathbf{N}^{*}）.

2006 · 天津 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★★★☆
如图，以椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的中心 OO 为圆心，分别以 aa 和 bb 为半径作大圆和小圆. 过椭圆右焦点 F(c,0)F(c,0)（c>bc>b）作垂直于 xx 轴的直线交大圆于第一象限内的点 AA. 连结 OAOA 交小圆于点 BB. 设直线 BFBF 是小圆的切线.
(1) 证明 c2=abc^2=ab，并求直线 BFBF 与 yy 轴的交点 MM 的坐标； (2) 设直线 BFBF 交椭圆于 PP，QQ 两点，证明：OP→⋅OQ→=12b2\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ}=\frac{1}{2}b^2.

2006 · 天津 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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