已知函数 $y=f(x)$ 的图象与函数 $y=a^{x}$（$a>0$ 且 $a\neq 1$）的图象关于直线 $y=x$ 对称，记 $g(x)=f(x)[f(x)+f(2)-1]$. 若 $y=g(x)$ 在区间 $\left[\frac{1}{2},2\right]$ 上是增函数，则实数 $a$ 的取值范围是（ ）