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07
数列
★★★☆☆
已知数列
{
a
n
}
\{a_{n}\}
{
a
n
}
，
{
b
n
}
\{b_{n}\}
{
b
n
}
都是公差为
1
1
1
的等差数列，其首项分别为
a
1
a_{1}
a
1
，
b
1
b_{1}
b
1
，且
a
1
+
b
1
=
5
a_{1}+b_{1}=5
a
1
+
b
1
=
5
，
a
1
a_{1}
a
1
，
b
1
∈
N
∗
b_{1}\in\mathbf{N}^{*}
b
1
∈
N
∗
. 设
C
n
=
a
b
n
C_{n}=a_{b_{n}}
C
n
=
a
b
n
（
n
∈
N
∗
n\in\mathbf{N}^{*}
n
∈
N
∗
），则数列
{
C
n
}
\{C_{n}\}
{
C
n
}
的前
10
10
10
项和等于（ ）
A.
55
55
55
B.
70
70
70
C.
85
85
85
D.
100
100
100
2006 · 天津 · 理 · 第 7 题 · 选择题
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加入组题
16
平面向量
★★★☆☆
设函数
f
(
x
)
=
1
x
+
1
f(x)=\frac{1}{x+1}
f
(
x
)
=
x
+
1
1
，点
A
0
A_{0}
A
0
表示坐标原点，点
A
n
(
n
,
f
(
n
)
)
A_{n}(n,f(n))
A
n
(
n
,
f
(
n
))
（
n
∈
N
∗
n\in\mathbf{N}^{*}
n
∈
N
∗
）. 若向量
a
n
=
A
0
A
1
→
+
A
1
A
2
→
+
⋯
+
A
n
−
1
A
n
→
\boldsymbol{a}_{n}=\overrightarrow{A_{0}A_{1}}+\overrightarrow{A_{1}A_{2}}+\cdots+\overrightarrow{A_{n-1}A_{n}}
a
n
=
A
0
A
1
+
A
1
A
2
+
⋯
+
A
n
−
1
A
n
，
θ
n
\theta_{n}
θ
n
是
a
n
\boldsymbol{a}_{n}
a
n
与
i
\boldsymbol{i}
i
的夹角（其中
i
=
(
1
,
0
)
\boldsymbol{i}=(1,0)
i
=
(
1
,
0
)
），设
S
n
=
tan
θ
1
+
tan
θ
2
+
⋯
+
tan
θ
n
S_{n}=\tan\theta_{1}+\tan\theta_{2}+\cdots+\tan\theta_{n}
S
n
=
tan
θ
1
+
tan
θ
2
+
⋯
+
tan
θ
n
，则
lim
n
→
∞
S
n
=
\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_{n}=
n
→
∞
lim
S
n
=
______.
2006 · 天津 · 理 · 第 16 题 · 填空题
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21
数列
★★★★★
已知数列
{
x
n
}
\{x_{n}\}
{
x
n
}
，
{
y
n
}
\{y_{n}\}
{
y
n
}
满足
x
1
=
x
2
=
1
x_{1}=x_{2}=1
x
1
=
x
2
=
1
，
y
1
=
y
2
=
2
y_{1}=y_{2}=2
y
1
=
y
2
=
2
，并且
x
n
+
1
x
n
=
λ
x
n
x
n
−
1
\frac{x_{n+1}}{x_n}=\lambda\frac{x_n}{x_{n-1}}
x
n
x
n
+
1
=
λ
x
n
−
1
x
n
，
y
n
+
1
y
n
⩾
λ
y
n
y
n
−
1
\frac{y_{n+1}}{y_n}\geqslant\lambda\frac{y_n}{y_{n-1}}
y
n
y
n
+
1
⩾
λ
y
n
−
1
y
n
（
λ
\lambda
λ
为非零参数，
n
=
2
n=2
n
=
2
，
3
3
3
，
4
4
4
，
⋯
\cdots
⋯
）.
(1) 若
x
1
x_{1}
x
1
，
x
3
x_{3}
x
3
，
x
5
x_{5}
x
5
成等比数列，求参数
λ
\lambda
λ
的值； (2) 当
λ
>
0
\lambda>0
λ
>
0
时，证明：
x
n
+
1
y
n
+
1
⩽
x
n
y
n
\frac{x_{n+1}}{y_{n+1}}\leqslant\frac{x_n}{y_n}
y
n
+
1
x
n
+
1
⩽
y
n
x
n
（
n
∈
N
∗
n\in\mathbf{N}^{*}
n
∈
N
∗
）； (3) 当
λ
>
1
\lambda>1
λ
>
1
，证明：
x
1
−
y
1
x
2
−
y
2
+
x
2
−
y
2
x
3
−
y
3
+
⋯
+
x
n
−
y
n
x
n
+
1
−
y
n
+
1
<
λ
λ
−
1
\frac{x_{1}-y_{1}}{x_{2}-y_{2}}+\frac{x_{2}-y_{2}}{x_{3}-y_{3}}+\cdots+\frac{x_{n}-y_{n}}{x_{n+1}-y_{n+1}}<\frac{\lambda}{\lambda-1}
x
2
−
y
2
x
1
−
y
1
+
x
3
−
y
3
x
2
−
y
2
+
⋯
+
x
n
+
1
−
y
n
+
1
x
n
−
y
n
<
λ
−
1
λ
（
n
∈
N
∗
n\in\mathbf{N}^{*}
n
∈
N
∗
）.
2006 · 天津 · 理 · 第 21 题 · 解答题
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