设向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的夹角为 $\theta$，且 $\boldsymbol{a}=(3,3)$，$2\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a}=(-1,1)$，则 $\cos\theta=$______.

设函数 $f(x)=\frac{1}{x+1}$，点 $A_{0}$ 表示坐标原点，点 $A_{n}(n,f(n))$（$n\in\mathbf{N}^{*}$）. 若向量 $\boldsymbol{a}_{n}=\overrightarrow{A_{0}A_{1}}+\overrightarrow{A_{1}A_{2}}+\cdots+\overrightarrow{A_{n-1}A_{n}}$，$\theta_{n}$ 是 $\boldsymbol{a}_{n}$ 与 $\boldsymbol{i}$ 的夹角（其中 $\boldsymbol{i}=(1,0)$），设 $S_{n}=\tan\theta_{1}+\tan\theta_{2}+\cdots+\tan\theta_{n}$，则 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_{n}=$______.

如图，以椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的中心 $O$ 为圆心，分别以 $a$ 和 $b$ 为半径作大圆和小圆. 过椭圆右焦点 $F(c,0)$（$c>b$）作垂直于 $x$ 轴的直线交大圆于第一象限内的点 $A$. 连结 $OA$ 交小圆于点 $B$. 设直线 $BF$ 是小圆的切线.

(1) 证明 $c^2=ab$，并求直线 $BF$ 与 $y$ 轴的交点 $M$ 的坐标； (2) 设直线 $BF$ 交椭圆于 $P$，$Q$ 两点，证明：$\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ}=\frac{1}{2}b^2$.