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01函数与初等函数★☆☆☆☆
设集合 AA 和 BB 都是坐标平面上的点集 {(x,y)∣x∈R, y∈R}\{(x, y) \mid x \in \mathbf{R},\ y \in \mathbf{R}\}，映射 f:A→Bf: A \to B 把集合 AA 中的元素 (x,y)(x, y) 映射成集合 BB 中的元素 (x+y,x−y)(x + y, x - y)，则在映射 ff 下，象 (2,1)(2, 1) 的原象是（ ）
A.
(3,1)(3, 1)
B.
(32,12)\left(\frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right)
C.
(32,−12)\left(\frac{3}{2}, -\frac{1}{2}\right)
D.
(1,3)(1, 3)

2000 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02复数★★☆☆☆
在复平面内，把复数 3−3i3 - \sqrt{3}\mathrm{i} 对应的向量按顺时针方向旋转 π3\frac{\pi}{3}，所得向量对应的复数是（ ）
A.
232\sqrt{3}
B.
−23i-2\sqrt{3}\mathrm{i}
C.
3−3i\sqrt{3} - 3\mathrm{i}
D.
3+3i3 + \sqrt{3}\mathrm{i}

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03立体几何初步★★☆☆☆
一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是 2\sqrt{2}，3\sqrt{3}，6\sqrt{6}，这个长方体对角线的长是（ ）
A.
232\sqrt{3}
B.
323\sqrt{2}
C.
66
D.
6\sqrt{6}

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04平面向量★★★☆☆
设 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b}，c\boldsymbol{c} 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则有下列命题：
① (a⋅b)c−(c⋅a)b=0(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b})\boldsymbol{c} - (\boldsymbol{c} \cdot \boldsymbol{a})\boldsymbol{b} = 0； ② ∣a∣−∣b∣<∣a−b∣|\boldsymbol{a}| - |\boldsymbol{b}| < |\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}|； ③ (b⋅c)a−(c⋅a)b(\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c})\boldsymbol{a} - (\boldsymbol{c} \cdot \boldsymbol{a})\boldsymbol{b} 不与 c\boldsymbol{c} 垂直； ④ (3a+2b)⋅(3a−2b)=9∣a∣2−4∣b∣2(3\boldsymbol{a} + 2\boldsymbol{b}) \cdot (3\boldsymbol{a} - 2\boldsymbol{b}) = 9|\boldsymbol{a}|^{2} - 4|\boldsymbol{b}|^{2}.
其中是真命题的有（ ）
A.
①②
B.
②③
C.
③④
D.
②④

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05函数与初等函数★★☆☆☆
函数 y=−xcos⁡xy = -x\cos x 的部分图象是（ ）
A.
B.
C.
D.

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06函数与初等函数★★☆☆☆
《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过 800 元800\text{ 元} 的部分不必纳税，超过 800 元800\text{ 元} 的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累进计算：
某人一月份交纳此项税款 26.78 元26.78\text{ 元}，则他的当月工资、薪金所得介于（ ）
A.
800 元−900 元800\text{ 元} - 900\text{ 元}
B.
900 元−1200 元900\text{ 元} - 1200\text{ 元}
C.
1200 元−1500 元1200\text{ 元} - 1500\text{ 元}
D.
1500 元−2800 元1500\text{ 元} - 2800\text{ 元}

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07不等式★★☆☆☆
若 a>b>1a > b > 1，P=lg⁡a⋅lg⁡bP = \sqrt{\lg a \cdot \lg b}，Q=12(lg⁡a+lg⁡b)Q = \frac{1}{2} (\lg a + \lg b)，R=lg⁡(a+b2)R = \lg \left(\frac{a + b}{2}\right)，则（ ）
A.
R<P<QR < P < Q
B.
P<Q<RP < Q < R
C.
Q<P<RQ < P < R
D.
P<R<QP < R < Q

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08导数及其应用★★★☆☆
图中阴影部分的面积是（ ）
A.
232\sqrt{3}
B.
9−239 - 2\sqrt{3}
C.
323\frac{32}{3}
D.
353\frac{35}{3}

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09★☆☆☆☆
一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（ ）
A.
1+2π2π\frac{1 + 2\pi}{2\pi}
B.
1+4π4π\frac{1 + 4\pi}{4\pi}
C.
1+2ππ\frac{1 + 2\pi}{\pi}
D.
1+4π2π\frac{1 + 4\pi}{2\pi}

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10解析几何★★☆☆☆
过原点的直线与圆 x2+y2+4x+3=0x^{2} + y^{2} + 4x + 3 = 0 相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（ ）
A.
y=3xy = \sqrt{3}x
B.
y=−3xy = -\sqrt{3}x
C.
y=33xy = \frac{\sqrt{3}}{3}x
D.
y=−33xy = -\frac{\sqrt{3}}{3}x

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11解析几何★★★☆☆
过抛物线 y=ax2y = ax^{2}（a>0a > 0）的焦点 FF 作一直线交抛物线于 PP，QQ 两点，若线段 PFPF 与 FQFQ 的长分别是 pp，qq，则 1p+1q\frac{1}{p} + \frac{1}{q} 等于（ ）
A.
2a2a
B.
12a\frac{1}{2a}
C.
4a4a
D.
4a\frac{4}{a}

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12立体几何初步★★★★☆
如图，OAOA 是圆锥底面中心 OO 到母线的垂线，OAOA 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角为（ ）
A.
arccos⁡123\arccos\frac{1}{\sqrt[3]{2}}
B.
arccos⁡12\arccos\frac{1}{2}
C.
arccos⁡12\arccos\frac{1}{\sqrt{2}}
D.
arccos⁡124\arccos\frac{1}{\sqrt[4]{2}}

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13概率与统计★★☆☆☆
某厂生产电子元件，其产品的次品率为 5%5\%，现从一批产品中任意地连续取出 22 件，其中次品 ξ\xi 的概率分布是：

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14解析几何★★★☆☆
椭圆 x29+y24=1\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1 的焦点 F1F_{1}，F2F_{2}，点 PP 为其上的动点，当 ∠F1PF2\angle F_{1}PF_{2} 为钝角时，点 PP 横坐标的取值范围是______.

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15数列★★★☆☆
设 {an}\{a_{n}\} 是首项为 11 的正项数列，且 (n+1)an+12−nan2+an+1an=0(n + 1)a_{n + 1}^{2} - na_{n}^{2} + a_{n + 1}a_{n} = 0（n=1n = 1，22，33，⋯\cdots），则它的通项公式是 an=a_{n}=______.

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16立体几何初步★★★★☆
如图，EE，FF 分别为正方体面 ADD1A1ADD_{1}A_{1}，面 BCC1B1BCC_{1}B_{1} 的中心，则四边形 BFD1EBFD_{1}E 在该正方体的面上的射影可能是______.
（要求：把可能的图序号都填上）
=0pt =0pt
 to 
 0.4
 to

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17概率与统计★★★☆☆
甲、乙二人参加普法知识竞答，共有 1010 个不同的题目，其中选择题 66 个，判断题 44 个，甲、乙二人依次各抽一题.
(1) 甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？ (2) 甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？

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18立体几何初步★★★★☆
如图，已知平行六面体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 的底面 ABCDABCD 为菱形，且 ∠C1CB=∠C1CD=∠BCD\angle C_{1}CB = \angle C_{1}CD = \angle BCD.
(1) 证明：C1C⊥BDC_{1}C \perp BD； (2) 当 CDCC1\dfrac{CD}{CC_{1}} 的值为多少时，能使 A1C⊥A_{1}C \perp 平面 C1BDC_{1}BD？请给出证明.

2000 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 18 题（乙） · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，直三棱柱 ABC−A1B1C1ABC - A_{1}B_{1}C_{1}，底面 △ABC\triangle ABC 中，CA=CB=1CA = CB = 1，∠BCA=90∘\angle BCA = 90^{\circ}，棱 AA1=2AA_{1} = 2，MM，NN 分别是 A1B1A_{1}B_{1}，A1AA_{1}A 的中点.
(1) 求 BN‾\overline{BN} 的长； (2) 求 cos⁡⟨BA1→,CB1→⟩\cos\langle\overrightarrow{BA_{1}},\overrightarrow{CB_{1}}\rangle 的值； (3) 求证 A1B⊥C1MA_{1}B \perp C_{1}M.

2000 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 18 题（甲） · 解答题

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19数列★★★☆☆
设 {an}\{a_{n}\} 为等差数列，SnS_{n} 为数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和，已知 S7=7S_{7} = 7，S15=75S_{15} = 75，TnT_{n} 为数列 {Snn}\left\{\frac{S_{n}}{n}\right\} 的前 nn 项和，求 TnT_{n}.

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20不等式★★★★☆
设函数 f(x)=x2+1−axf(x) = \sqrt{x^{2} + 1} - ax，其中 a>0a > 0.
(1) 解不等式 f(x)⩽1f(x) \leqslant 1； (2) 证明：当 a⩾1a \geqslant 1 时，函数 f(x)f(x) 在区间 [0,+∞)[0, +\infty) 上是单调函数.

2000 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★☆☆
用总长 14.8 m14.8\mathrm{~m} 的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制做容器的底面的一边比另一边长 0.5 m0.5\mathrm{~m}，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积.

2000 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★★★★
如图，已知梯形 ABCDABCD 中 ∣AB∣=2∣CD∣|AB| = 2|CD|，点 EE 分有向线段 AC→\overrightarrow{AC} 所成的比为 λ\lambda，双曲线过 CC，DD，EE 三点，且以 AA，BB 为焦点，当 23⩽λ⩽34\frac{2}{3} \leqslant \lambda \leqslant \frac{3}{4} 时，求双曲线离心率 ee 的取值范围.

2000 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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