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01函数与初等函数★☆☆☆☆
函数 y=x(x−1)+xy = \sqrt{x(x - 1)} + \sqrt{x} 的定义域为（ ）
A.
{x∣x⩾0}\{x \mid x \geqslant 0\}
B.
{x∣x⩾1}\{x\mid x\geqslant 1\}
C.
{x∣x⩾1}∪{0}\{x\mid x\geqslant 1\} \cup \{0\}
D.
{x∣0⩽x⩽1}\{x\mid 0\leqslant x\leqslant 1\}

2008 · 全国 · 大纲一卷 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02函数与初等函数★★☆☆☆
汽车经过启动，加速行驶，匀速行驶，减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程 ss 看作时间 tt 的函数，其图象可能是（ ）
A.
B.
C.
D.

2008 · 全国 · 大纲一卷 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03平面向量★★☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，AB→=c\overrightarrow{AB} = \boldsymbol{c}，AC→=b\overrightarrow{AC} = \boldsymbol{b}. 若点 DD 满足 BD→=2DC→\overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{DC}，则 AD→=\overrightarrow{AD}=（ ）
A.
23b+13c\frac{2}{3}\boldsymbol{b} + \frac{1}{3}\boldsymbol{c}
B.
53c−23b\frac{5}{3}\boldsymbol{c} - \frac{2}{3}\boldsymbol{b}
C.
23b−13c\frac{2}{3}\boldsymbol{b} - \frac{1}{3}\boldsymbol{c}
D.
13b+23c\frac{1}{3}\boldsymbol{b} + \frac{2}{3}\boldsymbol{c}

2008 · 全国 · 大纲一卷 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04复数★☆☆☆☆
设 a∈Ra \in \mathbf{R}，且 (a+i)2i(a+\mathrm{i})^2 \mathrm{i} 为正实数，则 a=a =（ ）
A.
22
B.
11
C.
00
D.
−1-1

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05数列★★☆☆☆
已知等差数列 {an}\{a_{n}\} 满足 a2+a4=4a_{2} + a_{4} = 4，a3+a5=10a_{3} + a_{5} = 10，则它的前1010项的和 S10=S_{10} =（ ）
A.
138138
B.
135135
C.
9595
D.
2323

2008 · 全国 · 大纲一卷 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06函数与初等函数★★★☆☆
若函数 y=f(x−1)y = f(x - 1) 的图象与函数 y=ln⁡x+1y = \ln \sqrt{x} + 1 的图象关于直线 y=xy = x 对称，则 f(x)=f(x) =（ ）
A.
e2x−1\mathrm{e}^{2x - 1}
B.
e2x\mathrm{e}^{2x}
C.
e2x+1\mathrm{e}^{2x + 1}
D.
e2x+2\mathrm{e}^{2x + 2}

2008 · 全国 · 大纲一卷 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07导数及其应用★★☆☆☆
设曲线 y=x+1x−1y = \frac{x + 1}{x - 1} 在点 (3,2)(3, 2) 处的切线与直线 ax+y+1=0ax + y + 1 = 0 垂直，则 a=a =（ ）
A.
22
B.
12\frac{1}{2}
C.
−12-\frac{1}{2}
D.
−2-2

2008 · 全国 · 大纲一卷 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08三角函数★★☆☆☆
为得到函数 y=cos⁡(2x+π3)y = \cos \left(2x + \frac{\pi}{3}\right) 的图象，只需将函数 y=sin⁡2xy = \sin 2x 的图象（ ）
A.
向左平移 5π12\frac{5\pi}{12} 个长度单位
B.
向右平移 5π12\frac{5\pi}{12} 个长度单位
C.
向左平移 5π6\frac{5\pi}{6} 个长度单位
D.
向右平移 5π6\frac{5\pi}{6} 个长度单位

2008 · 全国 · 大纲一卷 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09函数与初等函数★★★☆☆
设奇函数 f(x)f(x) 在 (0,+∞)(0, +\infty) 上为增函数，且 f(1)=0f(1) = 0，则不等式 f(x)−f(−x)x<0\frac{f(x) - f(-x)}{x} < 0 的解集为（ ）
A.
(−1,0)∪(1,+∞)(-1,0)\cup (1, + \infty)
B.
(−∞,−1)∪(0,1)(- \infty, -1) \cup (0, 1)
C.
(−∞,−1)∪(1,+∞)(-\infty, -1) \cup (1, +\infty)
D.
(−1,0)∪(0,1)(-1,0)\cup (0,1)

2008 · 全国 · 大纲一卷 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10解析几何★★★☆☆
若直线 xa+yb=1\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 通过点 M(cos⁡α,sin⁡α)M(\cos \alpha, \sin \alpha)，则（ ）
A.
a2+b2⩽1a^2 + b^2 \leqslant 1
B.
a2+b2⩾1a^2 + b^2 \geqslant 1
C.
1a2+1b2⩽1\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} \leqslant 1
D.
1a2+1b2⩾1\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} \geqslant 1

2008 · 全国 · 大纲一卷 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11立体几何初步★★★☆☆
已知三棱柱 ABC−A1B1C1ABC - A_{1}B_{1}C_{1} 的侧棱与底面边长都相等，A1A_{1} 在底面 ABCABC 内的射影为 △ABC\triangle ABC 的中心，则 AB1AB_{1} 与底面 ABCABC 所成角的正弦值等于（ ）
A.
13\frac{1}{3}
B.
23\frac{\sqrt{2}}{3}
C.
33\frac{\sqrt{3}}{3}
D.
23\frac{2}{3}

2008 · 全国 · 大纲一卷 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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12计数原理与组合数学★★★☆☆
如图，一环形花坛分成 A，B，C，D 四块，现有 44 种不同的花供选种，要求在每块里种 11 种花，且相邻的 22 块种不同的花，则不同的种法总数为（ ）
A.
9696
B.
8484
C.
6060
D.
4848

2008 · 全国 · 大纲一卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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13不等式★★☆☆☆
若 xx，yy 满足约束条件
{x+y⩾0,x−y+3⩾0,0⩽x⩽3,\begin{cases} x + y \geqslant 0,\\ x - y + 3 \geqslant 0,\\ 0 \leqslant x \leqslant 3, \end{cases}
则 z=2x−yz = 2x - y 的最大值为______.

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14解析几何★★★☆☆
已知抛物线 y=ax2−1y = ax^2 - 1 的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为______.

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15三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，AB=BCAB = BC，cos⁡B=−718\cos B = -\frac{7}{18}. 若以 AA，BB 为焦点的椭圆经过点 CC，则该椭圆的离心率 e=e =______.

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16立体几何初步★★★★☆
等边三角形 ABCABC 与正方形 ABDEABDE 有一公共边 ABAB，二面角 C−AB−DC - AB - D 的余弦值为 33\frac{\sqrt{3}}{3}，MM，NN 分别是 ACAC，BCBC 的中点，则 EMEM，ANAN 所成角的余弦值等于______.

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17三角函数★★★☆☆
设 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 所对的边长分别为 aa，bb，cc，且 acos⁡B−bcos⁡A=35ca \cos B - b \cos A = \frac{3}{5}c.
(1) 求 tan⁡Acot⁡B\tan A \cot B 的值； (2) 求 tan⁡(A−B)\tan (A - B) 的最大值.

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18立体几何初步★★★★☆
四棱锥 A−BCDEA - BCDE 中，底面 BCDEBCDE 为矩形，侧面 ABC⊥ABC \perp 底面 BCDEBCDE，BC=2BC = 2，CD=2CD = \sqrt{2}，AB=ACAB = AC.
(1) 证明：AD⊥CEAD \perp CE； (2) 设 CECE 与平面 ABEABE 所成的角为 45∘45^{\circ}，求二面角 C−AD−EC - AD - E 的大小.

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19导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=x3+ax2+x+1f(x) = x^3 + ax^2 + x + 1，a∈Ra \in \mathbf{R}.
(1) 讨论函数 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 设函数 f(x)f(x) 在区间 (−23,−13)\left(-\frac{2}{3}, -\frac{1}{3}\right) 内是减函数，求 aa 的取值范围.

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20概率与统计★★★☆☆
已知 55 只动物中有 11 只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物. 血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病. 下面是两种化验方案：
方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止.
方案乙：先任取 33 只，将它们的血液混在一起化验. 若结果呈阳性则表明患病动物为这 33 只中的 11 只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外 22 只中任取 11 只化验.
(1) 求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率； (2) ξ\xi 表示依方案乙所需化验次数，求 ξ\xi 的期望.

2008 · 全国 · 大纲一卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★☆
双曲线的中心为原点 OO，焦点在 xx 轴上，两条渐近线分别为 l1l_{1}，l2l_{2}，经过右焦点 FF 垂直于 l1l_{1} 的直线分别交 l1l_{1}，l2l_{2} 于 AA，BB 两点. 已知 ∣OA→∣\left|\overrightarrow{OA}\right|，∣AB→∣\left|\overrightarrow{AB}\right|，∣OB→∣\left|\overrightarrow{OB}\right| 成等差数列，且 BF→\overrightarrow{BF} 与 FA→\overrightarrow{FA} 同向.
(1) 求双曲线的离心率； (2) 设 ABAB 被双曲线所截得的线段的长为 44，求双曲线的方程.

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22导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=x−xln⁡xf(x) = x - x \ln x. 数列 {an}\{a_n\} 满足 0<a1<10 < a_1 < 1，an+1=f(an)a_{n+1} = f(a_n).
(1) 证明：函数 f(x)f(x) 在区间 (0,1)(0, 1) 是增函数； (2) 证明：an<an+1<1a_{n}<a_{n+1}<1； (3) 设 b∈(a1,1)b \in (a_1, 1)，整数 k⩾a1−ba1ln⁡bk \geqslant \frac{a_1 - b}{a_1 \ln b}. 证明：ak+1>ba_{k+1} > b.

2008 · 全国 · 大纲一卷 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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