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05
数列
★★☆☆☆
已知等差数列
{
a
n
}
\{a_{n}\}
{
a
n
}
满足
a
2
+
a
4
=
4
a_{2} + a_{4} = 4
a
2
+
a
4
=
4
，
a
3
+
a
5
=
10
a_{3} + a_{5} = 10
a
3
+
a
5
=
10
，则它的前
10
10
10
项的和
S
10
=
S_{10} =
S
10
=
（ ）
A.
138
138
138
B.
135
135
135
C.
95
95
95
D.
23
23
23
2008 · 全国 · 大纲一卷 · 理 · 第 5 题 · 选择题
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22
导数及其应用
★★★★★
设函数
f
(
x
)
=
x
−
x
ln
x
f(x) = x - x \ln x
f
(
x
)
=
x
−
x
ln
x
. 数列
{
a
n
}
\{a_n\}
{
a
n
}
满足
0
<
a
1
<
1
0 < a_1 < 1
0
<
a
1
<
1
，
a
n
+
1
=
f
(
a
n
)
a_{n+1} = f(a_n)
a
n
+
1
=
f
(
a
n
)
.
(1) 证明：函数
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
在区间
(
0
,
1
)
(0, 1)
(
0
,
1
)
是增函数； (2) 证明：
a
n
<
a
n
+
1
<
1
a_{n}<a_{n+1}<1
a
n
<
a
n
+
1
<
1
； (3) 设
b
∈
(
a
1
,
1
)
b \in (a_1, 1)
b
∈
(
a
1
,
1
)
，整数
k
⩾
a
1
−
b
a
1
ln
b
k \geqslant \frac{a_1 - b}{a_1 \ln b}
k
⩾
a
1
l
n
b
a
1
−
b
. 证明：
a
k
+
1
>
b
a_{k+1} > b
a
k
+
1
>
b
.
2008 · 全国 · 大纲一卷 · 理 · 第 22 题 · 解答题
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