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11指数函数与对数函数★★★★☆
当 0<x⩽120 < x \leqslant \frac{1}{2} 时，4x<log⁡ax4^x < \log_a x，则 aa 的取值范围是（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 因为 0<x⩽12<10<x\leqslant\frac12<1 且 4x>04^x>0，要使 log⁡ax>4x>0\log_a x>4^x>0，必须有 0<a<10<a<1. 此时 ln⁡a<0\ln a<0，原不等式等价于 ln⁡x<4xln⁡a\ln x<4^x\ln a，即 ln⁡a>ln⁡x4x\ln a>\frac{\ln x}{4^x}. 令 g(x)=ln⁡x4xg(x)=\frac{\ln x}{4^x}，则 g′(x)=4−x(1x−ln⁡4ln⁡x)>0g'(x)=4^{-x}\left(\frac1x-\ln4\ln x\right)>0 在 0<x⩽120<x\leqslant\frac12 上成立，所以 g(x)⩽g(12)=−12ln⁡2=−ln⁡2g(x)\leqslant g(\frac12)=-\frac12\ln2=-\ln\sqrt2. 因此需且只需 ln⁡a>−ln⁡2\ln a>-\ln\sqrt2，即 22<a<1\frac{\sqrt2}{2}<a<1，应选 B. \end{solution}
A.
(0,22)\left(0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)
B.
(22,1)\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)
C.
(1,2)(1, \sqrt{2})
D.
(2,2)(\sqrt{2}, 2)

2012 · 全国 · 新课程卷 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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13导数及其应用★★☆☆☆
曲线 y=x(3ln⁡x+1)y = x(3\ln x + 1) 在点 (1,1)(1,1) 处的切线方程为______.
\begin{answer} y=4x−3y = 4x - 3 \end{answer}
\begin{solution} 由 y=x(3ln⁡x+1)y=x(3\ln x+1) 得 y′=3ln⁡x+4y'=3\ln x+4，所以在 x=1x=1 处的切线斜率为 44. 利用点斜式，切线方程为 y−1=4(x−1)y-1=4(x-1)，即 y=4x−3y=4x-3. \end{solution}

2012 · 全国 · 新课程卷 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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21导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=ex−ax−2f(x) = \mathrm{e}^{x} - ax - 2.
(1) 求 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 若 a=1a = 1，kk 为整数，且当 x>0x > 0 时，(x−k)f′(x)+x+1>0(x-k)f'(x) + x + 1 > 0，求 kk 的最大值.

2012 · 全国 · 新课程卷 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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