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07函数与初等函数★☆☆☆☆
函数 y=x2−2x+4y = x^2 - 2x + 4，x∈[0,2]x \in [0, 2] 的值域为______.
\begin{answer} [3,4][3,4] \end{answer}
\begin{solution} 将函数配方，得 y=x2−2x+4=(x−1)2+3y=x^2-2x+4=(x-1)^2+3. 当 x∈[0,2]x\in[0,2] 时，(x−1)2∈[0,1](x-1)^2\in[0,1]，所以 y∈[3,4]y\in[3,4]. 当 x=1x=1 时取得最小值 33，当 x=0x=0 或 x=2x=2 时取得最大值 44. \end{solution}

2015 · 上海 · 春季 · 第 7 题 · 填空题

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14函数与初等函数★☆☆☆☆
函数 y=x2y = x^{2}（x≥1x \geq 1） 的反函数为（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 原函数限制在 x≥1x\geq1 上，值域为 y≥1y\geq1. 交换 xx、yy 得 x=y2x=y^2，又因反函数的函数值满足 y≥1y\geq1，所以 y=xy=\sqrt{x} 且 x≥1x\geq1. 故选 A. \end{solution}
A.
y=xy = \sqrt{x}（x≥1x \geq 1）
B.
y=−xy = \sqrt{-x}（x≤−1x \leq -1）
C.
y=xy = \sqrt{x}（x≥0x \geq 0）
D.
y=−xy = \sqrt{-x}（x≤0x \leq 0）

2015 · 上海 · 春季 · 第 14 题 · 选择题

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16函数与初等函数★★☆☆☆
下列函数中，是奇函数且在 (0,+∞)(0,+\infty)上单调递增的为（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 函数 y=x2y=x^2 不是奇函数；函数 y=x−1y=x^{-1} 虽为奇函数，但在正半轴上单调递减；函数 y=x−12y=x^{-\frac12} 的定义域不是关于原点对称，且在正半轴上递减. 函数 y=x13y=x^{\frac13} 满足 (−x)13=−x13(-x)^{\frac13}=-x^{\frac13}，是奇函数，并且在 (0,+∞)(0,+\infty) 上单调递增. 故选 B. \end{solution}
A.
y=x2y = x^{2}
B.
y=x13y = x^{\frac{1}{3}}
C.
y=x−1y = x^{-1}
D.
y=x−12y = x^{-\frac{1}{2}}

2015 · 上海 · 春季 · 第 16 题 · 选择题

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26函数与初等函数★★☆☆☆
已知 aa 为实数，函数 f(x)=x2+ax+4xf(x)=\frac{x^{2}+ax+4}{x} 是奇函数，求 f(x)f(x) 在 (0,+∞)(0,+\infty) 上的最小值及取到最小值时所对应的 xx 的值.
\begin{solution} 函数定义域为 R\{0}\mathbf{R}\mathbin{\backslash}\{0\}，且 f(x)=x+a+4xf(x)=x+a+\frac4x. 由奇函数条件，对任意 x≠0x\neq0，有 f(−x)=−x+a−4xf(-x)=-x+a-\frac4x，而 −f(x)=−x−a−4x-f(x)=-x-a-\frac4x. 比较两式，得 a=−aa=-a，所以 a=0a=0. 因而在正半轴上 f(x)=x+4xf(x)=x+\frac4x.
当 x>0x>0 时，由基本不等式，x+4x≥2x⋅4x=4x+\frac4x\geq2\sqrt{x\cdot\frac4x}=4，等号成立的条件是 x=4xx=\frac4x，即 x=2x=2. 所以 f(x)f(x) 的最小值为 44，此时 x=2x=2. \end{solution}

2015 · 上海 · 春季 · 第 26 题 · 解答题

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33复数★★★☆☆
关于 xx 的实系数一元二次方程 x2+px+2=0x^2 + px + 2 = 0 的两个虚数根为 z1z_1， z2z_2，若 z1z_1， z2z_2 在复平面上对应的点是经过原点的椭圆的两个焦点，则该椭圆的长轴长为______.
\begin{answer} 222\sqrt2 \end{answer}
\begin{solution} 因为方程系数为实数且两根为非实根，所以两根互为共轭，可设 z1=u+viz_1=u+v\mathrm{i}、z2=u−viz_2=u-v\mathrm{i}，其中 v≠0v\neq0. 由韦达定理 z1z2=2z_1z_2=2，得 u2+v2=2u^2+v^2=2.
椭圆的两个焦点为这两个点，原点在椭圆上，所以原点到两个焦点的距离之和等于长轴长 2a2a. 两个距离都等于 u2+v2=2\sqrt{u^2+v^2}=\sqrt2，故 2a=222a=2\sqrt2. 因此该椭圆的长轴长为 222\sqrt2. \end{solution}

2015 · 上海 · 春季 · 第 33 题 · 填空题

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35函数与初等函数★★☆☆☆
函数 f(x)f(x) 与 g(x)g(x) 的图像拼成如图所示的“Z”字形折线段 ABOCDABOCD，不含 A(0,1)A(0,1)， B(1,1)B(1,1)， O(0,0)O(0,0)， C(−1,−1)C(-1,-1)， D(0,−1)D(0,-1) 五个点，若 f(x)f(x) 的图像关于原点对称的图形即为 g(x)g(x) 的图像，则其中一个函数的解析式可以为______.
\begin{answer}
f(x)={x,−1<x<0,1,0<x<1.f(x)=\begin{cases} x,&-1<x<0,\\ 1,&0<x<1. \end{cases}
\end{answer}
\begin{solution} 取 ff 的图像为线段 OCOC 与 ABAB 去掉端点后的部分. 线段 OCOC 的两个端点为 (0,0)(0,0)、(−1,−1)(-1,-1)，故其方程为 y=xy=x，对应定义域为 −1<x<0-1<x<0；线段 ABAB 的方程为 y=1y=1，对应定义域为 0<x<10<x<1. 因此可取
f(x)={x,−1<x<0,1,0<x<1.f(x)=\begin{cases} x,&-1<x<0,\\ 1,&0<x<1. \end{cases}
其图像关于原点对称后为线段 BOBO 与 CDCD 去掉端点后的部分，和原图像恰好拼成折线段 ABOCDABOCD（不含题中五个点），所以该函数符合条件. \end{solution}

2015 · 上海 · 春季 · 第 35 题 · 填空题

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36函数与初等函数★★★★☆
对于函数 f(x)f(x)，g(x)g(x)，若存在函数 h(x)h(x)，使得 f(x)=g(x)⋅h(x)f(x)=g(x)\cdot h(x)，则称 f(x)f(x) 是 g(x)g(x) 的“h(x)h(x) 关联函数”.
(1) 已知 f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x， g(x)=cos⁡xg(x)=\cos x，是否存在定义域为 R\mathbf{R} 的函数 h(x)h(x)，使得 f(x)f(x) 是 g(x)g(x) 的“h(x)h(x) 关联函数”？若存在，写出 h(x)h(x) 的解析式；若不存在，说明理由； (2) 已知函数 f(x)f(x)， g(x)g(x) 的定义域为 [1,+∞)[1,+\infty)，当 x∈[n,n+1)x\in[n,n+1)，（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*）时， f(x)=2n−1sin⁡xn−1f(x)=2^{n-1}\sin\frac{x}{n}-1，若存在函数 h1(x)h_1(x) 及 h2(x)h_2(x)，使得 f(x)f(x) 是 g(x)g(x) 的“h1(x)h_1(x) 关联函数”，且 g(x)g(x) 是 f(x)f(x) 的“h2(x)h_2(x) 关联函数”，求方程 g(x)=0g(x)=0 的解.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 若存在定义域为 R\mathbf{R} 的函数 hh，则必须有 sin⁡x=cos⁡x⋅h(x)\sin x=\cos x\cdot h(x) 对所有 x∈Rx\in\mathbf{R} 成立. 当 x=π2x=\frac\pi2 时，sin⁡x=1\sin x=1 而 cos⁡x=0\cos x=0，等式变为 1=0⋅h(π2)=01=0\cdot h\left(\frac\pi2\right)=0，矛盾. 所以不存在这样的函数 h(x)h(x).
\item 由 f(x)=g(x)h1(x)f(x)=g(x)h_1(x) 和 g(x)=f(x)h2(x)g(x)=f(x)h_2(x)，可知 f(x)=0f(x)=0 与 g(x)=0g(x)=0 互相推出，所以二者的零点集合相同. 只需求出 f(x)=0f(x)=0 的解.
当 n=1n=1 时，x∈[1,2)x\in[1,2)，方程为 sin⁡x=1\sin x=1，所以 x=π2x=\frac\pi2，且 π2∈[1,2)\frac\pi2\in[1,2).
当 n≥2n\geq2 时，x∈[n,n+1)x\in[n,n+1) 蕴含 1≤xn<1+1n≤32<π21\leq\frac{x}{n}<1+\frac1n\leq\frac32<\frac\pi2. 又因 1>π61>\frac\pi6，且正弦函数在 [0,π2]\left[0,\frac\pi2\right] 上单调递增，所以 sin⁡xn≥sin⁡1>sin⁡π6=12\sin\frac{x}{n}\geq\sin1>\sin\frac\pi6=\frac12，而 21−n≤122^{1-n}\leq\frac12，方程 2n−1sin⁡xn−1=02^{n-1}\sin\frac{x}{n}-1=0，即 sin⁡xn=21−n\sin\frac{x}{n}=2^{1-n}，不可能成立. 所以 f(x)=0f(x)=0 的解集为 {π2}\left\{\frac\pi2\right\}，从而 g(x)=0g(x)=0 的解也是 x=π2x=\frac\pi2. \end{enumerate} \end{solution}

2015 · 上海 · 春季 · 第 36 题 · 解答题

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