数迹
题目列表试卷列表
共找到 8 题
排序：
组题
本页 8 题去组卷
08不等式★☆☆☆☆
若线性方程组的增广矩阵为
(a0201b)\begin{pmatrix} a & 0 & 2 \\ 0 & 1 & b \end{pmatrix}
，解为
{x=2,y=1\begin{cases} x = 2,\\ y = 1 \end{cases}
，则 a+b=a + b =______.
\begin{answer} 22 \end{answer}
\begin{solution} 增广矩阵对应的方程组为
{ax=2,y=b\begin{cases} ax=2,\\ y=b \end{cases}
. 将解 x=2x=2、y=1y=1 代入，得 2a=22a=2 和 b=1b=1，即 a=1a=1、b=1b=1. 因此 a+b=2a+b=2. \end{solution}

2015 · 上海 · 春季 · 第 8 题 · 填空题

查看答案和解析
13不等式★☆☆☆☆
若 a<0<ba < 0 < b，则下列不等式恒成立的是（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 由 a<0<ba<0<b，可知 a3<0<b3a^3<0<b^3，因此 a3<b3a^3<b^3 恒成立. 选项 A 中左边为负、右边为正，不成立；选项 B、C 分别需要比较 −a-a 与 bb、∣a∣|a| 与 bb，均不能由已知条件确定. 故选 D. \end{solution}
A.
1a>1b\frac{1}{a} > \frac{1}{b}
B.
−a>b-a > b
C.
a2>b2a^2 > b^2
D.
a3<b3a^3 < b^3

2015 · 上海 · 春季 · 第 13 题 · 选择题

查看答案和解析
15不等式★☆☆☆☆
不等式 2−3xx−1>0\frac{2-3x}{x-1}>0的解集为（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 分子、分母的零点分别为 x=23x=\frac23 和 x=1x=1. 在 (−∞,23)(-\infty,\frac23)、(23,1)(\frac23,1)、(1,+∞)(1,+\infty) 上分别判断符号，只有 (23,1)(\frac23,1) 内分子、分母同号且分式为正. 两个端点均不能取，故解集为 (23,1)\left(\frac23,1\right). 选 D. \end{solution}
A.
(−∞,34)\left(-\infty,\frac{3}{4}\right)
B.
(−∞,23)\left(-\infty,\frac{2}{3}\right)
C.
(−∞,23)∪(1,+∞)\left(-\infty,\frac{2}{3}\right)\cup(1,+\infty)
D.
(23,1)\left(\frac{2}{3},1\right)

2015 · 上海 · 春季 · 第 15 题 · 选择题

查看答案和解析
22不等式★★☆☆☆
已知 a>0a > 0，b>0b > 0，若 a+b=4a + b = 4，则（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 由 a+b=4a+b=4，有 a2+b2≥(a+b)22=8a^2+b^2\geq\frac{(a+b)^2}{2}=8，且当 a=b=2a=b=2 时取等号，所以选项 A 正确. 另一方面，ab\sqrt{ab} 在 a=ba=b 时取得最大值；1a+1b=4ab\frac1a+\frac1b=\frac4{ab} 在 a=ba=b 时取得最小值而无最大值；由 a+b≤22\sqrt a+\sqrt b\leq2\sqrt2，得 1a+b≥122\frac{1}{\sqrt a+\sqrt b}\geq\frac{1}{2\sqrt2}，其在 a=b=2a=b=2 时取得最小值，且上确界 12\frac12 不取到，因而没有最大值. 故选 A. \end{solution}
A.
a2+b2a^2 + b^2有最小值
B.
ab\sqrt{ab}有最小值
C.
1a+1b\frac{1}{a} + \frac{1}{b}有最大值
D.
1a+b\frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}有最大值

2015 · 上海 · 春季 · 第 22 题 · 选择题

查看答案和解析
24集合与逻辑基础★★★☆☆
设集合 P1={x∣x2+ax+1>0}P_1 = \left\{ x \mid x^2 + ax + 1 > 0 \right\}， P2={x∣x2+ax+2>0}P_2 = \left\{ x \mid x^2 + ax + 2 > 0 \right\}， Q1={x∣x2+x+b>0}Q_1 = \left\{ x \mid x^2 + x + b > 0 \right\}， Q2={x∣x2+2x+b>0}Q_2 = \left\{ x \mid x^2 + 2x + b > 0 \right\} 其中 aa，b∈Rb \in \mathbf{R}，下列说法正确的是（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 若 x∈P1x\in P_1，则 x2+ax+1>0x^2+ax+1>0，从而 x2+ax+2=(x2+ax+1)+1>0x^2+ax+2=(x^2+ax+1)+1>0，所以对任意 aa，都有 P1⊆P2P_1\subseteq P_2.
取 b>1b>1，则 x2+x+b>0x^2+x+b>0 和 x2+2x+b>0x^2+2x+b>0 的判别式分别为 1−4b<01-4b<0 和 4−4b<04-4b<0，于是 Q1=Q2=RQ_1=Q_2=\mathbf{R}，特别地 Q1⊆Q2Q_1\subseteq Q_2. 因此选项 B 正确. \end{solution}
A.
对任意 aa， P1P_1 是 P2P_2 的子集；对任意的 bb， Q1Q_1 不是 Q2Q_2 的子集
B.
对任意 aa， P1P_1 是 P2P_2 的子集；存在 bb，使得 Q1Q_1 是 Q2Q_2 的子集
C.
存在 aa，使得 P1P_1 不是 P2P_2 的子集；对任意的 bb， Q1Q_1 不是 Q2Q_2 的子集
D.
存在 aa，使得 P1P_1 不是 P2P_2 的子集；存在 bb，使得 Q1Q_1 是 Q2Q_2 的子集

2015 · 上海 · 春季 · 第 24 题 · 选择题

查看答案和解析
26函数与初等函数★★☆☆☆
已知 aa 为实数，函数 f(x)=x2+ax+4xf(x)=\frac{x^{2}+ax+4}{x} 是奇函数，求 f(x)f(x) 在 (0,+∞)(0,+\infty) 上的最小值及取到最小值时所对应的 xx 的值.
\begin{solution} 函数定义域为 R\{0}\mathbf{R}\mathbin{\backslash}\{0\}，且 f(x)=x+a+4xf(x)=x+a+\frac4x. 由奇函数条件，对任意 x≠0x\neq0，有 f(−x)=−x+a−4xf(-x)=-x+a-\frac4x，而 −f(x)=−x−a−4x-f(x)=-x-a-\frac4x. 比较两式，得 a=−aa=-a，所以 a=0a=0. 因而在正半轴上 f(x)=x+4xf(x)=x+\frac4x.
当 x>0x>0 时，由基本不等式，x+4x≥2x⋅4x=4x+\frac4x\geq2\sqrt{x\cdot\frac4x}=4，等号成立的条件是 x=4xx=\frac4x，即 x=2x=2. 所以 f(x)f(x) 的最小值为 44，此时 x=2x=2. \end{solution}

2015 · 上海 · 春季 · 第 26 题 · 解答题

查看答案和解析
29不等式★★★★☆
已知函数 f(x)=∣2x−2−2∣f(x)=\left|2^{x-2}-2\right|（x∈Rx\in\mathbf{R}）.
(1) 解不等式 f(x)<2f(x)<2； (2) 数列 {an}\left\{a_{n}\right\} 满足 an=f(n)a_{n}=f(n)（n∈N∗n\in\mathbf{N}^{*}）， SnS_{n} 为 {an}\left\{a_{n}\right\} 的前 nn 项和，对任意的 n≥4n\geq4，不等式 Sn+12≥kanS_{n}+\frac{1}{2}\geq ka_{n} 恒成立，求实数 kk 的取值范围.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 令 t=2x−2>0t=2^{x-2}>0. 原不等式等价于 ∣t−2∣<2|t-2|<2，即 −2<t−2<2-2<t-2<2，所以 0<t<40<t<4. 因为 t>0t>0 恒成立，故只需 2x−2<4=222^{x-2}<4=2^2，即 x<4x<4.
\item 先计算数列的前几项：a1=∣2−1−2∣=32a_1=\left|2^{-1}-2\right|=\frac32、a2=1a_2=1、a3=0a_3=0. 当 n≥4n\geq4 时，an=2n−2−2a_n=2^{n-2}-2，故
Sn=32+1+∑j=2n−22j−2(n−3)=2n−1−2n+92S_n=\frac32+1+\sum_{j=2}^{n-2}2^j-2(n-3)=2^{n-1}-2n+\frac92
因此 an=2n−2−2>0a_n=2^{n-2}-2>0，原不等式对所有 n≥4n\geq4 成立，当且仅当
k≤Sn+12an=2n−1−2n+52n−2−2k\leq\frac{S_n+\frac12}{a_n}=\frac{2^{n-1}-2n+5}{2^{n-2}-2}
要确定右侧的最小值，只需证明其不小于 2514\frac{25}{14}. 由于分母为正，这等价于
14(2n−1−2n+5)−25(2n−2−2)≥014(2^{n-1}-2n+5)-25(2^{n-2}-2)\geq0
即 3⋅2n−2−28n+120≥03\cdot2^{n-2}-28n+120\geq0. 当 n=4n=4，55，66 时，左侧分别为 2020，44，00. 对于 n≥6n\geq6，相邻两项之差为
(3⋅2n−1−28(n+1)+120)−(3⋅2n−2−28n+120)=3⋅2n−2−28≥20>0\bigl(3\cdot2^{n-1}-28(n+1)+120\bigr)-\bigl(3\cdot2^{n-2}-28n+120\bigr)=3\cdot2^{n-2}-28\geq20>0
所以该式对所有 n≥6n\geq6 均成立. 当 n=6n=6 时等号成立，故右侧最小值为 2514\frac{25}{14}. 因而 k≤2514k\leq\frac{25}{14}，实数 kk 的取值范围为 (−∞,2514]\left(-\infty,\frac{25}{14}\right]. \end{enumerate} \end{solution}

2015 · 上海 · 春季 · 第 29 题 · 解答题

查看答案和解析
31不等式★★★☆☆
对于任意实数 aa， bb， (a−b)2≥kab(a-b)^2 \geq kab 均成立，则实数 kk 的取值范围是（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 原不等式等价于 a2−(k+2)ab+b2≥0a^2-(k+2)ab+b^2\geq0 对任意实数 aa，bb 成立. 当 b≠0b\neq0 时令 t=abt=\frac ab，则必须有 t2−(k+2)t+1≥0t^2-(k+2)t+1\geq0 对任意实数 tt 成立. 这要求该二次式的判别式不大于零，即 (k+2)2−4≤0(k+2)^2-4\leq0，从而 −4≤k≤0-4\leq k\leq0. 当 b=0b=0 时原不等式显然成立，所以取值范围为 [−4,0][-4,0]. 选 B. \end{solution}
A.
{−4,0}\{-4,0\}
B.
[−4,0][-4, 0]
C.
(−∞,0](- \infty, 0]
D.
(−∞,−4]∪[0,+∞)(- \infty, -4] \cup [0, +\infty)

2015 · 上海 · 春季 · 第 31 题 · 选择题

查看答案和解析