计算： $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 - 3}{2n^2 + n} =$______.

\begin{answer} $\frac{1}{2}$ \end{answer}

\begin{solution} 分子、分母同除以 $n^2$，得 $\frac{n^2-3}{2n^2+n}=\frac{1-\frac{3}{n^2}}{2+\frac{1}{n}}$. 令 $n\to\infty$，有 $\frac{1-0}{2+0}=\frac12$. \end{solution}

若无穷等差数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1} > 0$，公差 $d < 0$， $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$，则（ ）

\begin{answer} C \end{answer}

\begin{solution} 因为 $a_n=a_1+(n-1)d$，且 $d<0$，所以 $a_n$ 随 $n$ 严格递减，并且 $a_n\to-\infty$. 又 $S_{n+1}-S_n=a_{n+1}$，而 $a_{n+1}$ 随 $n$ 严格递减且最终为负，所以 $S_n$ 的增减趋势至多从增大变为减小；若某项 $a_{n+1}=0$，则相邻两项 $S_n$ 和 $S_{n+1}$ 相等. 因此 $S_n$ 必有最大值. 又 所以没有最小值. 故选 C. \end{solution}

已知函数 $f(x)=\left|2^{x-2}-2\right|$（$x\in\mathbf{R}$）.

(1) 解不等式 $f(x)<2$； (2) 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{n}=f(n)$（$n\in\mathbf{N}^{*}$）， $S_{n}$ 为 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，对任意的 $n\geq4$，不等式 $S_{n}+\frac{1}{2}\geq ka_{n}$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 令 $t=2^{x-2}>0$. 原不等式等价于 $|t-2|<2$，即 $-2<t-2<2$，所以 $0<t<4$. 因为 $t>0$ 恒成立，故只需 $2^{x-2}<4=2^2$，即 $x<4$.

\item 先计算数列的前几项：$a_1=\left|2^{-1}-2\right|=\frac32$、$a_2=1$、$a_3=0$. 当 $n\geq4$ 时，$a_n=2^{n-2}-2$，故 因此 $a_n=2^{n-2}-2>0$，原不等式对所有 $n\geq4$ 成立，当且仅当 要确定右侧的最小值，只需证明其不小于 $\frac{25}{14}$. 由于分母为正，这等价于 即 $3\cdot2^{n-2}-28n+120\geq0$. 当 $n=4$，$5$，$6$ 时，左侧分别为 $20$，$4$，$0$. 对于 $n\geq6$，相邻两项之差为 所以该式对所有 $n\geq6$ 均成立. 当 $n=6$ 时等号成立，故右侧最小值为 $\frac{25}{14}$. 因而 $k\leq\frac{25}{14}$，实数 $k$ 的取值范围为 $\left(-\infty,\frac{25}{14}\right]$. \end{enumerate} \end{solution}

已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} + a_{n+4} = a_{n+1} + a_{n+3}$（$n \in \mathbf{N}^{*}$），那么（ ）

\begin{answer} D \end{answer}

\begin{solution} 令 $d_n=a_{n+1}-a_n$. 由已知等式，得 $a_{n+4}-a_{n+3}=a_{n+1}-a_n$，即 $d_{n+3}=d_n$. 因而差数列以 3 为周期. 对数列 $\{a_{3n}\}$，有 右端与 $n$ 无关，所以 $\{a_{3n}\}$ 是等差数列. 为说明其余三个选项不一定成立，取 $d_1=1$、$d_2=2$、$d_3=0$，令 $a_1=0$，并按 $d_{n+3}=d_n$ 定义后续各项. 此时 $\{a_n\}$ 的相邻差不恒定，$\{a_{2n-1}\}$ 的相邻差依次为 $3$，$1$，$2$，$\ldots$，$\{a_{2n}\}$ 的相邻差依次为 $2$，$3$，$1$，$\ldots$，故这三个数列均不一定是等差数列. 因此选 D. \end{solution}