设全集为 $U = \{1, 2, 3\}$， $A = \{1, 2\}$，若集合则 $\complement_U A =$______.

\begin{answer} $\{3\}$ \end{answer}

\begin{solution} 全集中属于 $U$ 而不属于 $A$ 的元素只有 $3$，所以 $\complement_U A=U\mathbin{\backslash} A=\{3\}$. \end{solution}

设集合 $P_1 = \left\{ x \mid x^2 + ax + 1 > 0 \right\}$， $P_2 = \left\{ x \mid x^2 + ax + 2 > 0 \right\}$， $Q_1 = \left\{ x \mid x^2 + x + b > 0 \right\}$， $Q_2 = \left\{ x \mid x^2 + 2x + b > 0 \right\}$ 其中 $a$，$b \in \mathbf{R}$，下列说法正确的是（ ）

\begin{answer} B \end{answer}

\begin{solution} 若 $x\in P_1$，则 $x^2+ax+1>0$，从而 $x^2+ax+2=(x^2+ax+1)+1>0$，所以对任意 $a$，都有 $P_1\subseteq P_2$.

取 $b>1$，则 $x^2+x+b>0$ 和 $x^2+2x+b>0$ 的判别式分别为 $1-4b<0$ 和 $4-4b<0$，于是 $Q_1=Q_2=\mathbf{R}$，特别地 $Q_1\subseteq Q_2$. 因此选项 B 正确. \end{solution}

对于集合 $A$， $B$， “$A \neq B$”是“$A \cap B \subsetneq A \cup B$”的（ ）

\begin{answer} C \end{answer}

\begin{solution} 总有 $A\cap B\subseteq A\cup B$. 当且仅当存在元素属于 $A\cup B$ 而不属于 $A\cap B$ 时，这个包含关系为真包含；这等价于存在元素只属于 $A$ 或只属于 $B$，也就等价于 $A\neq B$. 因此两个条件互为充要条件，选 C. \end{solution}