底面半径为$1$，母线长为$2$的圆锥的体积为（ ）

\begin{answer} D \end{answer}

\begin{solution} 圆锥的高为 $h=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3$. 因而体积为 $V=\frac13\pi r^2h=\frac13\pi\cdot1^2\cdot\sqrt3=\frac{\sqrt3\pi}{3}$. 故选 D. \end{solution}

如图，在正四棱柱中 $ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$， $AB=1$， $D_{1}B$ 和平面 $ABCD$ 所成的角的大小为 $\arctan\frac{3\sqrt{2}}{4}$，求该四棱柱的表面积.

\begin{solution} 设正四棱柱的高为 $h$. 线段 $D_1B$ 在底面 $ABCD$ 上的射影为底面对角线 $DB$，所以 $DB=\sqrt2$. 设 $D_1B$ 与底面所成的角为 $\theta$，则 $\tan\theta=\frac{h}{DB}=\frac{h}{\sqrt2}$. 由题意 $\tan\theta=\frac{3\sqrt2}{4}$，故 $h=\sqrt2\cdot\frac{3\sqrt2}{4}=\frac32$.

正四棱柱的表面积为两个底面积与四个侧面积之和，因此 $S=2\cdot1^2+4\cdot1\cdot\frac32=8$. 所以该四棱柱的表面积为 $8$. \end{solution}