函数 $y = \sin\left(2x + \frac{\pi}{4}\right)$ 的最小正周期为______.

\begin{answer} $\pi$ \end{answer}

\begin{solution} 正弦函数 $\sin(\omega x+\varphi)$ 的最小正周期为 $\frac{2\pi}{|\omega|}$. 这里 $|\omega|=2$，因此最小正周期为 $\frac{2\pi}{2}=\pi$. \end{solution}

某船在海平面 $A$ 处测得灯塔 $B$ 在北偏东 $30^{\circ}$ 方向，与 $A$ 相距 $6.0\text{ 海里}$. 船由 $A$ 向正北方向航行 $8.1\text{ 海里}$ 到达 $C$ 处，这时灯塔 $B$ 与船相距多少海里（精确到 $0.1\text{ 海里}$ ）？$B$ 在船的什么方向（精确到 $1^{\circ}$）？

\begin{solution} 以 $A$ 为原点，正东方向为横轴正向，正北方向为纵轴正向. 由 $AB=6.0$ 海里且 $B$ 在北偏东 $30^{\circ}$ 方向，得 $B$ 的坐标为 $\left(6\sin30^{\circ},6\cos30^{\circ}\right)=\left(3,3\sqrt3\right)$. 船向正北航行 $8.1$ 海里，所以 $C=(0,8.1)$.

因此 $\overrightarrow{CB}=\left(3,3\sqrt3-8.1\right)$，从而 精确到 $0.1$ 海里为 $4.2$ 海里.

由于 $3\sqrt3<8.1$，点 $B$ 位于点 $C$ 的东南方向. 设 $\alpha$ 为南偏东的角，则 $\tan\alpha=\frac{3}{8.1-3\sqrt3}$，所以 $\alpha\approx45.96^{\circ}$. 精确到 $1^{\circ}$，得 $B$ 在船的南偏东 $46^{\circ}$ 方向. \end{solution}

对于函数 $f(x)$，$g(x)$，若存在函数 $h(x)$，使得 $f(x)=g(x)\cdot h(x)$，则称 $f(x)$ 是 $g(x)$ 的“$h(x)$ 关联函数”.

(1) 已知 $f(x)=\sin x$， $g(x)=\cos x$，是否存在定义域为 $\mathbf{R}$ 的函数 $h(x)$，使得 $f(x)$ 是 $g(x)$ 的“$h(x)$ 关联函数”？若存在，写出 $h(x)$ 的解析式；若不存在，说明理由； (2) 已知函数 $f(x)$， $g(x)$ 的定义域为 $[1,+\infty)$，当 $x\in[n,n+1)$，（$n\in\mathbf{N}^*$）时， $f(x)=2^{n-1}\sin\frac{x}{n}-1$，若存在函数 $h_1(x)$ 及 $h_2(x)$，使得 $f(x)$ 是 $g(x)$ 的“$h_1(x)$ 关联函数”，且 $g(x)$ 是 $f(x)$ 的“$h_2(x)$ 关联函数”，求方程 $g(x)=0$ 的解.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 若存在定义域为 $\mathbf{R}$ 的函数 $h$，则必须有 $\sin x=\cos x\cdot h(x)$ 对所有 $x\in\mathbf{R}$ 成立. 当 $x=\frac\pi2$ 时，$\sin x=1$ 而 $\cos x=0$，等式变为 $1=0\cdot h\left(\frac\pi2\right)=0$，矛盾. 所以不存在这样的函数 $h(x)$.

\item 由 $f(x)=g(x)h_1(x)$ 和 $g(x)=f(x)h_2(x)$，可知 $f(x)=0$ 与 $g(x)=0$ 互相推出，所以二者的零点集合相同. 只需求出 $f(x)=0$ 的解.

当 $n=1$ 时，$x\in[1,2)$，方程为 $\sin x=1$，所以 $x=\frac\pi2$，且 $\frac\pi2\in[1,2)$.

当 $n\geq2$ 时，$x\in[n,n+1)$ 蕴含 $1\leq\frac{x}{n}<1+\frac1n\leq\frac32<\frac\pi2$. 又因 $1>\frac\pi6$，且正弦函数在 $\left[0,\frac\pi2\right]$ 上单调递增，所以 $\sin\frac{x}{n}\geq\sin1>\sin\frac\pi6=\frac12$，而 $2^{1-n}\leq\frac12$，方程 $2^{n-1}\sin\frac{x}{n}-1=0$，即 $\sin\frac{x}{n}=2^{1-n}$，不可能成立. 所以 $f(x)=0$ 的解集为 $\left\{\frac\pi2\right\}$，从而 $g(x)=0$ 的解也是 $x=\frac\pi2$. \end{enumerate} \end{solution}