已知向量 $\boldsymbol{a} = (1, 3)$， $\boldsymbol{b} = (m, -1)$，若 $\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b}$，则 $m =$______.

\begin{answer} $3$ \end{answer}

\begin{solution} 由两向量垂直，得 $\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=0$. 因而 $1\cdot m+3\cdot(-1)=0$，即 $m-3=0$，所以 $m=3$. \end{solution}

已知点 $A(1,0)$，直线 $l$：$x=-1$，两个动圆均过点 $A$ 且与 $l$ 相切，其圆心分别为 $C_1$，$C_2$，若动点 $M$ 满足 $2\overrightarrow{C_2M} = \overrightarrow{C_2C_1} + \overrightarrow{C_2A}$，则 $M$ 的轨迹方程为______.

\begin{answer} $y^2=2x-1$ \end{answer}

\begin{solution} 设任一动圆圆心为 $C=(u,v)$. 因为圆过 $A(1,0)$ 且与直线 $x=-1$ 相切，所以圆心到 $A$ 的距离等于圆心到直线 $x=-1$ 的距离，即 $(u-1)^2+v^2=(u+1)^2$. 化简得 $v^2=4u$.

由向量关系，$2(M-C_2)=(C_1-C_2)+(A-C_2)$，从而 $2M=C_1+A$. 设 $C_1=(u,v)$、$M=(x,y)$，则 $x=\frac{u+1}{2}$、$y=\frac v2$，即 $u=2x-1$、$v=2y$. 代入 $v^2=4u$，得 $4y^2=4(2x-1)$，所以轨迹方程为 $y^2=2x-1$. \end{solution}

已知点 $F_{1}$，$F_{2}$ 依次为双曲线 $C$：$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$（$a$，$b>0$）的左右焦点，$\left|F_{1}F_{2}\right|=6$，$B_{1}(0,-b)$，$B_{2}(0,b)$

(1) 若 $a=\sqrt{5}$，以 $\boldsymbol{d}=(3,-4)$ 为方向向量的直线 $l$ 经过 $B_{1}$，求 $F_{2}$ 到 $l$ 的距离； (2) 若双曲线 $C$ 上存在点 $P$，使得 $\overrightarrow{PB_{1}} \cdot \overrightarrow{PB_{2}} = -2$，求实数 $b$ 的取值范围.

\begin{solution} 由双曲线焦半距关系 $c^2=a^2+b^2$，以及 $|F_1F_2|=2c=6$，得 $c=3$.

\begin{enumerate} \item 当 $a=\sqrt5$ 时，$b^2=3^2-a^2=4$，所以 $b=2$，即 $B_1=(0,-2)$、$F_2=(3,0)$. 直线 $l$ 的方向向量为 $(3,-4)$，故可取法向量 $(4,3)$. 由直线经过 $B_1$，其方程为 $4x+3y+6=0$. 因此

\item 设 $P=(x,y)$. 则 $\overrightarrow{PB_1}=(-x,-b-y)$、$\overrightarrow{PB_2}=(-x,b-y)$，所以 即 $x^2+y^2=b^2-2$. 记 $t=b^2$，则 $0<t<9$，且由 $x^2+y^2=t-2$ 必有 $t\geq2$. 又双曲线方程为 $\frac{x^2}{9-t}-\frac{y^2}{t}=1$. 令 $X=x^2$、$Y=y^2$，联立 由第一式得 $Y=t-2-X$，代入第二式，得 于是 $Y=t-2-X=\frac{t(2t-11)}9$. 因为 $X\geq0$、$Y\geq0$，且 $2\leq t<9$，所以只需 $2t-11\geq0$，即 $t\geq\frac{11}{2}$. 反之，当 $\frac{11}{2}\leq t<9$ 时，上述 $X$，$Y$ 均非负，取相应的 $x$，$y$ 即可得到双曲线上的点 $P$. 因此 即 $\sqrt{\frac{11}{2}}\leq b<3$. \end{enumerate} \end{solution}

已知圆心为 $O$，半径为 $1$ 的圆上有三点 $A$， $B$， $C$，若 $7\overrightarrow{OA} + 5\overrightarrow{OB} + 8\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{0}$，则 $\left|\overrightarrow{BC}\right|=$______.

\begin{answer} $\sqrt3$ \end{answer}

\begin{solution} 记 $\boldsymbol{a}=\overrightarrow{OA}$、$\boldsymbol{b}=\overrightarrow{OB}$、$\boldsymbol{c}=\overrightarrow{OC}$. 因为三点在单位圆上，所以 $|\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{c}|=1$. 由 $7\boldsymbol{a}+5\boldsymbol{b}+8\boldsymbol{c}=\boldsymbol{0}$，得 $7\boldsymbol{a}=-(5\boldsymbol{b}+8\boldsymbol{c})$. 两边平方，得 所以 $\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c}=-\frac12$. 于是 因此 $|\overrightarrow{BC}|=\sqrt3$. \end{solution}