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01指数函数与对数函数★☆☆☆☆
函数 f(x)=log⁡4(x+1)f(x)=\log_{4}(x+1) 的反函数 f−1(x)=f^{-1}(x)=______.

2005 · 上海 · 理 · 第 1 题 · 填空题

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02指数函数与对数函数★☆☆☆☆
方程 4x+2x−2=04^{x} + 2^{x} - 2 = 0 的解是______.

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03平面向量★☆☆☆☆
直角坐标平面 xOyxOy 中，若定点 A(1,2)A(1,2) 与动点 P(x,y)P(x,y) 满足 OP→⋅OA→=4\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OA} = 4，则点 PP 的轨迹方程是______.

2005 · 上海 · 理 · 第 3 题 · 填空题

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04计数原理与组合数学★★☆☆☆
在 (x−a)10(x - a)^10 的展开式中，x7x^7 的系数是 1515，则实数 a=a =______.

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05解析几何★★☆☆☆
若双曲线的渐近线方程为 y=±3xy = \pm 3x，它的一个焦点是 (10,0)(\sqrt{10}, 0)，则双曲线的方程是______.

2005 · 上海 · 理 · 第 5 题 · 填空题

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06解析几何★☆☆☆☆
将参数方程
{x=1+2cos⁡θ,y=2sin⁡θ,\begin{cases} x=1+2\cos\theta,\\ y=2\sin\theta, \end{cases}
（θ\theta 为参数）化为普通方程，所得方程是______.

2005 · 上海 · 理 · 第 6 题 · 填空题

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07数列★☆☆☆☆
计算： lim⁡n→∞3n+1−2n3n+2n−1=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{3^{n+1}-2^{n}}{3^{n}+2^{n-1}}=______.

2005 · 上海 · 理 · 第 7 题 · 填空题

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08概率与统计★★☆☆☆
某班有 5050 名学生. 其中 1515 人选修 AA 课程，另外 3535 人选修 BB 课程. 从班级中任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率是______. （结果用分数表示）

2005 · 上海 · 理 · 第 8 题 · 填空题

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09三角函数★★☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，若 A=120∘A = 120^{\circ}，AB=5AB = 5，BC=7BC = 7，则 △ABC\triangle ABC 的面积 S=S =______.

2005 · 上海 · 理 · 第 9 题 · 填空题

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10三角函数★★★☆☆
函数 f(x)=sin⁡x+2∣sin⁡x∣f(x) = \sin x + 2|\sin x|，x∈[0,2π]x \in [0, 2\pi] 的图象与直线 y=ky = k 有且仅有两个不同的交点，则 kk 的取值范围是______.

2005 · 上海 · 理 · 第 10 题 · 填空题

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11立体几何初步★★★★☆
有两个相同的直三棱柱，高为 2a\frac{2}{a}，底面三角形的三边长分别为 3a3a，4a4a，5a5a（a>0a > 0）. 用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则 aa 的取值范围是______.

2005 · 上海 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12计数原理与组合数学★★★☆☆
用 nn 个不同的实数 a1a_1，a2a_2，⋯\cdots，ana_n 可得到 n!n! 个不同的排列，每个排列为一行写成一个 n!n! 行的数阵. 对第 ii 行 ai1a_{i1}，ai2a_{i2}，⋯\cdots，aina_{in}，记 bi=−ai1+2ai2−3ai3+⋯+(−1)nnainb_i = -a_{i1} + 2a_{i2} - 3a_{i3} + \cdots + (-1)^n na_{in}，i=1i = 1，22，33，⋯\cdots，n!n!. 例如：用 11，22，33 可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是 1212，所以，b1+b2+⋯+b6=−12+2×12−3×12=−24b_1 + b_2 + \cdots + b_6 = -12 + 2 \times 12 - 3 \times 12 = -24. 那么，在用 11，22，33，44，55 形成的数阵中，b1+b2+⋯+b120=‾b_1 + b_2 + \cdots + b_{120} =\underline{\hspace{2em}}.
112233
113322
221133
223311
331122
332211

2005 · 上海 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13函数与初等函数★★☆☆☆
若函数 f(x)=12x+1f(x) = \frac{1}{2^x + 1}，则该函数在 (−∞,+∞)(- \infty, +\infty) 上是（ ）
A.
单调递减无最小值
B.
单调递减有最小值
C.
单调递增无最大值
D.
单调递增有最大值

2005 · 上海 · 理 · 第 13 题 · 选择题

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14集合与逻辑基础★★☆☆☆
已知集合 M={x∣∣x−1∣⩽2,x∈R}M = \{x \mid |x - 1| \leqslant 2, x \in \mathbf{R}\}，P={x∣5x+1⩾1,x∈Z}P = \left\{x \mid \frac{5}{x + 1} \geqslant 1, x \in \mathbf{Z}\right\}，则 M∩PM \cap P 等于（ ）
A.
{x∣0<x⩽3,x∈Z}\{x\mid 0 < x\leqslant 3,x\in \mathbf{Z}\}
B.
{x∣0⩽x⩽3,x∈Z}\{x\mid 0\leqslant x\leqslant 3,x\in \mathbf{Z}\}
C.
{x∣−1⩽x⩽0,x∈Z}\{x\mid -1\leqslant x\leqslant 0,x\in \mathbf{Z}\}
D.
{x∣−1⩽x<0,x∈Z}\{x\mid -1\leqslant x < 0,x\in \mathbf{Z}\}

2005 · 上海 · 理 · 第 14 题 · 选择题

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15解析几何★★★☆☆
过抛物线 y2=4xy^{2}=4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 AA，BB 两点，它们的横坐标之和等于 55，则这样的直线（ ）
A.
有且仅有一条
B.
有且仅有两条
C.
有无穷多条
D.
不存在

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16函数与初等函数★★★★☆
设定义域为 R\mathbf{R} 的函数
f(x)={∣lg⁡∣x−1∣∣,x≠1,0,x=1,f(x) = \begin{cases} |\lg |x - 1||, & x \neq 1,\\ 0, & x = 1, \end{cases}
则关于 xx 的方程 f2(x)+bf(x)+c=0f^2(x) + bf(x) + c = 0 有 77 个不同实数解的充要条件是（ ）
A.
b<0b < 0 且 c>0c > 0
B.
b>0b > 0 且 c<0c < 0
C.
b<0b < 0 且 c=0c = 0
D.
b⩾0b \geqslant 0 且 c=0c = 0

2005 · 上海 · 理 · 第 16 题 · 选择题

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，已知直四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，AA1=2AA_{1} = 2. 底面 ABCDABCD 是直角梯形，∠A\angle A 是直角，AB∥CDAB \parallel CD，AB=4AB = 4，AD=2AD = 2，DC=1DC = 1，求异面直线 BC1BC_{1} 与 DCDC 所成角的大小. （结果用反三角函数值表示）

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18复数★★★☆☆
证明：在复数范围内，方程 ∣z∣2+(1−i)z‾−(1+i)z=5−5i2+i|z|^2 + (1 - \mathrm{i})\overline{z} - (1 + \mathrm{i})z = \frac{5 - 5\mathrm{i}}{2 + \mathrm{i}} （i\mathrm{i} 为虚数单位）无解.

2005 · 上海 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
如图，点 AA，BB 分别是椭圆 x236+y220=1\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{20} = 1 长轴的左，右端点，点 FF 是椭圆的右焦点，点 PP 在椭圆上，且位于 xx 轴上方，PA⊥PFPA \perp PF.
(1) 求点 PP 的坐标； (2) 设 MM 是椭圆长轴 ABAB 上的一点，MM 到直线 APAP 的距离等于 ∣MB∣|MB|，求椭圆上的点到点 MM 的距离 dd 的最小值.

2005 · 上海 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20数列★★★★☆
假设某市 20042004 年新建住房面积 400400 万平方米，其中有 250250 万平方米是中低价房. 预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长 8%8\%. 另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加 5050 万平方米. 那么，到哪一年底，
(1) 该市历年所建中低价房的累计面积（以 20042004 年为累计的第一年）将首次不少于 47504750 万平方米？ (2) 当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%85\%？

2005 · 上海 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21函数与初等函数★★★★☆
对定义域是 DfD_f，DgD_g 的函数 y=f(x)y = f(x)，y=g(x)y = g(x)，规定：函数
h(x)={f(x)g(x),当 x∈Df且x∈Dg,f(x),当 x∈Df且x∉Dg,g(x),当 x∉Df且x∈Dg.h(x) = \begin{cases} f(x)g(x), & \text{当 } x \in D_f \text{且} x \in D_g,\\ f(x), & \text{当 } x \in D_f \text{且} x \notin D_g,\\ g(x), & \text{当 } x \notin D_f \text{且} x \in D_g. \end{cases}
(1) 若函数 f(x)=1x−1f(x) = \frac{1}{x - 1}，g(x)=x2g(x) = x^2，写出函数 h(x)h(x) 的解析式； (2) 求问题（1）中函数 h(x)h(x) 的值域； (3) 若 g(x)=f(x+α)g(x) = f(x + \alpha)，其中 α\alpha 是常数，且 α∈[0,π]\alpha \in [0, \pi]，请设计一个定义域为 R\mathbf{R} 的函数 y=f(x)y = f(x)，及一个 α\alpha 的值，使得 h(x)=cos⁡4xh(x) = \cos 4x，并予以证明.

2005 · 上海 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22数列★★★★☆
在直角坐标平面中，已知点 P1(1,2)P_{1}(1,2)，P2(2,22)P_{2}(2,2^{2})，P3(3,23)P_{3}(3,2^{3})，⋯\cdots，Pn(n,2n)P_{n}(n,2^{n})，其中 nn 是正整数，对平面上任一点 A0A_{0}，记 A1A_{1} 为 A0A_{0} 关于点 P1P_{1} 的对称点，A2A_{2} 为 A1A_{1} 关于点 P2P_{2} 的对称点，⋯\cdots，AnA_{n} 为 An−1A_{n-1} 关于点 PnP_{n} 的对称点.
(1) 求向量 A0A2→\overrightarrow{A_{0}A_{2}} 的坐标； (2) 当点 A0A_{0} 在曲线 CC 上移动时，点 A2A_{2} 的轨迹是函数 y=f(x)y = f(x) 的图象，其中 f(x)f(x) 是以 3 为周期的周期函数，且当 x∈(0,3]x \in (0,3] 时，f(x)=lg⁡xf(x) = \lg x. 求以曲线 CC 为图象的函数在 (1,4](1,4] 上的解析式； (3) 对任意偶数 nn，用 nn 表示向量 A0An→\overrightarrow{A_{0}A_{n}} 的坐标.

2005 · 上海 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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