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10三角函数★★★☆☆
函数 f(x)=sin⁡x+2∣sin⁡x∣f(x) = \sin x + 2|\sin x|，x∈[0,2π]x \in [0, 2\pi] 的图象与直线 y=ky = k 有且仅有两个不同的交点，则 kk 的取值范围是______.

2005 · 上海 · 理 · 第 10 题 · 填空题

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13函数与初等函数★★☆☆☆
若函数 f(x)=12x+1f(x) = \frac{1}{2^x + 1}，则该函数在 (−∞,+∞)(- \infty, +\infty) 上是（ ）
A.
单调递减无最小值
B.
单调递减有最小值
C.
单调递增无最大值
D.
单调递增有最大值

2005 · 上海 · 理 · 第 13 题 · 选择题

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15解析几何★★★☆☆
过抛物线 y2=4xy^{2}=4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 AA，BB 两点，它们的横坐标之和等于 55，则这样的直线（ ）
A.
有且仅有一条
B.
有且仅有两条
C.
有无穷多条
D.
不存在

2005 · 上海 · 理 · 第 15 题 · 选择题

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16函数与初等函数★★★★☆
设定义域为 R\mathbf{R} 的函数
f(x)={∣lg⁡∣x−1∣∣,x≠1,0,x=1,f(x) = \begin{cases} |\lg |x - 1||, & x \neq 1,\\ 0, & x = 1, \end{cases}
则关于 xx 的方程 f2(x)+bf(x)+c=0f^2(x) + bf(x) + c = 0 有 77 个不同实数解的充要条件是（ ）
A.
b<0b < 0 且 c>0c > 0
B.
b>0b > 0 且 c<0c < 0
C.
b<0b < 0 且 c=0c = 0
D.
b⩾0b \geqslant 0 且 c=0c = 0

2005 · 上海 · 理 · 第 16 题 · 选择题

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19解析几何★★★★☆
如图，点 AA，BB 分别是椭圆 x236+y220=1\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{20} = 1 长轴的左，右端点，点 FF 是椭圆的右焦点，点 PP 在椭圆上，且位于 xx 轴上方，PA⊥PFPA \perp PF.
(1) 求点 PP 的坐标； (2) 设 MM 是椭圆长轴 ABAB 上的一点，MM 到直线 APAP 的距离等于 ∣MB∣|MB|，求椭圆上的点到点 MM 的距离 dd 的最小值.

2005 · 上海 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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21函数与初等函数★★★★☆
对定义域是 DfD_f，DgD_g 的函数 y=f(x)y = f(x)，y=g(x)y = g(x)，规定：函数
h(x)={f(x)g(x),当 x∈Df且x∈Dg,f(x),当 x∈Df且x∉Dg,g(x),当 x∉Df且x∈Dg.h(x) = \begin{cases} f(x)g(x), & \text{当 } x \in D_f \text{且} x \in D_g,\\ f(x), & \text{当 } x \in D_f \text{且} x \notin D_g,\\ g(x), & \text{当 } x \notin D_f \text{且} x \in D_g. \end{cases}
(1) 若函数 f(x)=1x−1f(x) = \frac{1}{x - 1}，g(x)=x2g(x) = x^2，写出函数 h(x)h(x) 的解析式； (2) 求问题（1）中函数 h(x)h(x) 的值域； (3) 若 g(x)=f(x+α)g(x) = f(x + \alpha)，其中 α\alpha 是常数，且 α∈[0,π]\alpha \in [0, \pi]，请设计一个定义域为 R\mathbf{R} 的函数 y=f(x)y = f(x)，及一个 α\alpha 的值，使得 h(x)=cos⁡4xh(x) = \cos 4x，并予以证明.

2005 · 上海 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22数列★★★★☆
在直角坐标平面中，已知点 P1(1,2)P_{1}(1,2)，P2(2,22)P_{2}(2,2^{2})，P3(3,23)P_{3}(3,2^{3})，⋯\cdots，Pn(n,2n)P_{n}(n,2^{n})，其中 nn 是正整数，对平面上任一点 A0A_{0}，记 A1A_{1} 为 A0A_{0} 关于点 P1P_{1} 的对称点，A2A_{2} 为 A1A_{1} 关于点 P2P_{2} 的对称点，⋯\cdots，AnA_{n} 为 An−1A_{n-1} 关于点 PnP_{n} 的对称点.
(1) 求向量 A0A2→\overrightarrow{A_{0}A_{2}} 的坐标； (2) 当点 A0A_{0} 在曲线 CC 上移动时，点 A2A_{2} 的轨迹是函数 y=f(x)y = f(x) 的图象，其中 f(x)f(x) 是以 3 为周期的周期函数，且当 x∈(0,3]x \in (0,3] 时，f(x)=lg⁡xf(x) = \lg x. 求以曲线 CC 为图象的函数在 (1,4](1,4] 上的解析式； (3) 对任意偶数 nn，用 nn 表示向量 A0An→\overrightarrow{A_{0}A_{n}} 的坐标.

2005 · 上海 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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