在 $\triangle ABC$ 中，若 $A = 120^{\circ}$，$AB = 5$，$BC = 7$，则 $\triangle ABC$ 的面积 $S =$______.

函数 $f(x) = \sin x + 2|\sin x|$，$x \in [0, 2\pi]$ 的图象与直线 $y = k$ 有且仅有两个不同的交点，则 $k$ 的取值范围是______.

对定义域是 $D_f$，$D_g$ 的函数 $y = f(x)$，$y = g(x)$，规定：函数

(1) 若函数 $f(x) = \frac{1}{x - 1}$，$g(x) = x^2$，写出函数 $h(x)$ 的解析式； (2) 求问题（1）中函数 $h(x)$ 的值域； (3) 若 $g(x) = f(x + \alpha)$，其中 $\alpha$ 是常数，且 $\alpha \in [0, \pi]$，请设计一个定义域为 $\mathbf{R}$ 的函数 $y = f(x)$，及一个 $\alpha$ 的值，使得 $h(x) = \cos 4x$，并予以证明.