在 $\triangle ABC$ 中，已知 $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \tan A$，当 $A = \frac{\pi}{6}$ 时，$\triangle ABC$ 的面积为______.

已知向量 $\boldsymbol{a} = (m, \cos 2x)$，$\boldsymbol{b} = (\sin 2x, n)$，函数 $f(x) = \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$，且 $y = f(x)$ 的图象过点 $\left(\frac{\pi}{12}, \sqrt{3}\right)$ 和点 $\left(\frac{2\pi}{3}, -2\right)$.

(1) 求 $m$，$n$ 的值； (2) 将 $y = f(x)$ 的图象向左平移 $\varphi$（$0 < \varphi < \pi$）个单位后得到函数 $y = g(x)$ 的图象. 若 $y = g(x)$ 的图象上各最高点到点 $(0,3)$ 的距离的最小值为 1，求 $y = g(x)$ 的单调增区间.