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01集合与逻辑基础★★☆☆☆
已知集合 A={x∣x2−5x+6⩽0}A = \{x \mid x^2 - 5x + 6 \leqslant 0\}，集合 B={x∣∣2x−1∣>3}B = \{x \mid |2x - 1| > 3\}，则集合 A∩B=A \cap B =（ ）
A.
{x∣2⩽x⩽3}\{x\mid 2\leqslant x\leqslant 3\}
B.
{x∣2⩽x<3}\{x\mid 2\leqslant x < 3\}
C.
{x∣2<x⩽3}\{x\mid 2 < x\leqslant 3\}
D.
{x∣−1<x<3}\{x\mid -1 < x < 3\}

2006 · 四川 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02指数函数与对数函数★☆☆☆☆
函数 f(x)=ln⁡(x−1)f(x) = \ln(x - 1)（x>1x > 1）的反函数是（ ）
A.
f−1(x)=ex+1f^{-1}(x) = \mathrm{e}^{x} + 1（x∈Rx\in \mathbf{R}）
B.
f−1(x)=10x+1f^{-1}(x) = 10^{x} + 1（x∈Rx\in \mathbf{R}）
C.
f−1(x)=10x+1f^{-1}(x) = 10^{x} + 1（x>1x > 1）
D.
f−1(x)=ex+1f^{-1}(x) = \mathrm{e}^{x} + 1（x>1x > 1）

2006 · 四川 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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03导数及其应用★★☆☆☆
曲线 y=4x−x3y = 4x - x^3 在点 (−1,−3)(-1, -3) 处的切线方程是（ ）
A.
y=7x+4y = 7x + 4
B.
y=7x+2y = 7x + 2
C.
y=x−4y = x - 4
D.
y=x−2y = x - 2

2006 · 四川 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04平面向量★★☆☆☆
如图，已知正六边形 P1P2P3P4P5P6P_{1}P_{2}P_{3}P_{4}P_{5}P_{6}. 下列向量的数量积中最大的是（ ）
A.
P1P2→⋅P1P3→\overrightarrow{P_1P_2} \cdot \overrightarrow{P_1P_3}
B.
P1P2→⋅P1P4→\overrightarrow{P_1P_2} \cdot \overrightarrow{P_1P_4}
C.
P1P2→⋅P1P5→\overrightarrow{P_1P_2} \cdot \overrightarrow{P_1P_5}
D.
P1P2→⋅P1P6→\overrightarrow{P_1P_2} \cdot \overrightarrow{P_1P_6}

2006 · 四川 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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05概率与统计★☆☆☆☆
甲校有 36003600 名学生，乙校有 54005400 名学生，丙校有 18001800 名学生. 为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个容量为 9090 人的样本，应在这三校分别抽取学生（ ）
A.
3030 人，3030 人，3030 人
B.
3030 人，4545 人，1515 人
C.
2020 人，3030 人，1010 人
D.
3030 人，5050 人，1010 人

2006 · 四川 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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06三角函数★★☆☆☆
下列函数中，图象的一部分如图所示的是（ ）
A.
y=sin⁡(x+π6)y = \sin \left(x + \frac{\pi}{6}\right)
B.
y=sin⁡(2x−π6)y = \sin \left(2x - \frac{\pi}{6}\right)
C.
y=cos⁡(4x−π3)y = \cos \left(4x - \frac{\pi}{3}\right)
D.
y=cos⁡(2x−π6)y = \cos \left(2x - \frac{\pi}{6}\right)

2006 · 四川 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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07立体几何初步★★☆☆☆
已知二面角 α−l−β\alpha - l - \beta 的大小为 60∘60^{\circ}，mm，nn 为异面直线，且 m⊥αm \perp \alpha，n⊥βn \perp \beta，则 mm，nn 所成的角为（ ）
A.
30∘30^{\circ}
B.
60∘60^{\circ}
C.
90∘90^{\circ}
D.
120∘120^{\circ}

2006 · 四川 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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08解析几何★★☆☆☆
已知两定点 A(−2,0)A(-2,0)，B(1,0)B(1,0)，如果动点 PP 满足 ∣PA∣=2∣PB∣|PA| = 2|PB|，则点 PP 的轨迹所包围的图形的面积等于（ ）
A.
9π9\pi
B.
8π8\pi
C.
4π4\pi
D.
π\pi

2006 · 四川 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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09立体几何初步★★☆☆☆
如图，正四棱锥 P−ABCDP - ABCD 底面的四个顶点 AA，BB，CC，DD 在球 OO 的同一个大圆上，点 PP 在球面上，如果 VP−ABCD=163V_{P - ABCD} = \frac{16}{3}，则球 OO 的表面积是（ ）
A.
4π4\pi
B.
8π8\pi
C.
12π12\pi
D.
16π16\pi

2006 · 四川 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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10解析几何★★☆☆☆
直线 y=x−3y = x - 3 与抛物线 y2=4xy^{2} = 4x 交于 AA，BB 两点，过 AA，BB 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为 PP，QQ，则梯形 APQBAPQB 的面积为（ ）
A.
3636
B.
4848
C.
5656
D.
6464

2006 · 四川 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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11三角函数★★★★☆
设 aa，bb，cc 分别是 △ABC\triangle ABC 的三个内角 AA，BB，CC 所对的边，则 a2=b(b+c)a^2 = b(b + c) 是 A=2BA = 2B 的（ ）
A.
充要条件
B.
充分而不必要条件
C.
必要而不充分条件
D.
既不充分也不必要条件

2006 · 四川 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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12计数原理与组合数学★★★★☆
从 00 到 99 这 1010 个数字中任取 33 个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数不能被 33 整除的概率为（ ）
A.
4160\frac{41}{60}
B.
3854\frac{38}{54}
C.
3554\frac{35}{54}
D.
1954\frac{19}{54}

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13计数原理与组合数学★☆☆☆☆
(1−2x)10(1 - 2x)^{10} 展开式中的 x3x^{3} 的系数为______.

2006 · 四川 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14不等式★★☆☆☆
设 xx，yy 满足约束条件
{x⩾1,y⩾12x,2x+y⩽10,\begin{cases} x \geqslant 1,\\ y \geqslant \frac{1}{2}x,\\ 2x + y \leqslant 10, \end{cases}
则 z=2x−yz = 2x - y 的最小值为______.

2006 · 四川 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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15解析几何★★★☆☆
如图，把椭圆 x225+y216=1\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1 的长轴 ABAB 分成 88 等分，过每个分点作 xx 轴的垂线交椭圆的上半部分于 P1P_1，P2P_2，⋯\cdots，P7P_7 七个点，FF 是椭圆的一个焦点，则
∣P1F∣+∣P2F∣+⋯+∣P7F∣=‾|P_1F| + |P_2F| + \cdots + |P_7F| =\underline{\hspace{2em}}.

2006 · 四川 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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16立体几何初步★★★☆☆
mm，nn 是空间两条不同直线，α\alpha，β\beta 是两个不同平面，下面有四个命题：
① m⊥αm \perp \alpha，n∥βn \parallel \beta，α∥β⇒m⊥n\alpha \parallel \beta \Rightarrow m \perp n； ② m⊥nm \perp n，α∥β\alpha \parallel \beta，m⊥α⇒n∥βm \perp \alpha \Rightarrow n \parallel \beta； ③ m⊥nm \perp n，α∥β\alpha \parallel \beta，m∥α⇒n⊥βm \parallel \alpha \Rightarrow n \perp \beta； ④ m⊥αm \perp \alpha，m∥nm \parallel n，α∥β⇒n⊥β\alpha \parallel \beta \Rightarrow n \perp \beta.
其中真命题的编号是______.

2006 · 四川 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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17数列★★★☆☆
数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和记为 SnS_{n}，a1=1a_{1} = 1，an+1=2Sn+1a_{n+1} = 2S_{n} + 1（n⩾1n \geqslant 1）.
(1) 求 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 等差数列 {bn}\{b_{n}\} 的各项为正，其前 nn 项和 TnT_{n}，且 T3=15T_{3}=15，又 a1+b1a_{1}+b_{1}，a2+b2a_{2}+b_{2}，a3+b3a_{3}+b_{3} 成等比数列，求 TnT_{n}.

2006 · 四川 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18平面向量★★★☆☆
已知 AA，BB，CC 是 △ABC\triangle ABC 三内角，向量 m=(−1,3)\boldsymbol{m} = (-1, \sqrt{3})，n=(cos⁡A,sin⁡A)\boldsymbol{n} = (\cos A, \sin A)，且 m⋅n=1\boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{n} = 1.
(1) 求角 AA； (2) 若 1+sin⁡2Bcos⁡2B−sin⁡2B=−3\frac{1 + \sin 2B}{\cos^2 B - \sin^2 B} = -3，求 tan⁡C\tan C.

2006 · 四川 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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19概率与统计★★★☆☆
某课程考核分理论和实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都“合格”则该课程考核“合格”. 甲，乙，丙三人在理论考核中合格的概率分别为 0.90.9，0.80.8，0.70.7；在实验考核中合格的概率分别为 0.80.8，0.70.7，0.90.9. 所有考核是否合格互相之间没有影响.
(1) 求甲，乙，丙三人在理论考核中至少要有两人合格的概率； (2) 求这三人该课程考核都合格的概率（结果保留三位小数）.

2006 · 四川 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20立体几何初步★★★★☆
如图，在长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，EE，PP 分别是 BCBC，A1D1A_{1}D_{1} 的中点，MM，NN 分别是 AEAE，CD1CD_{1} 的中点，AD=AA1=aAD = AA_{1} = a，AB=2aAB = 2a.
(1) 求证：MN∥MN \parallel 面 ADD1A1ADD_{1}A_{1}； (2) 求二面角 P−AE−DP - AE - D 的大小.

2006 · 四川 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=x3+3ax−1f(x) = x^3 + 3ax - 1，g(x)=f′(x)−ax−5g(x) = f'(x) - ax - 5，其中 f′(x)f'(x) 是 f(x)f(x) 的导函数.
(1) 对满足 −1⩽a⩽1-1 \leqslant a \leqslant 1 的一切 aa 的值，都有 g(x)<0g(x) < 0，求实数 xx 的取值范围； (2) 设 a=−m2a = -m^2，当实数 mm 在什么范围内变化时，函数 y=f(x)y = f(x) 的图像与直线 y=3y = 3 只有一个公共点.

2006 · 四川 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★★★★
已知两定点 F1(−2,0)F_{1}(-\sqrt{2},0)，F2(2,0)F_{2}(\sqrt{2},0)，满足条件 ∣PF2∣−∣PF1∣=2\left|PF_{2}\right| - \left|PF_{1}\right| = 2 的点 PP 的轨迹是曲线 EE，直线 y=kx−1y = kx - 1 与曲线 EE 交于 AA，BB 两点.
(1) 求 kk 的取值范围； (2) 如果 ∣AB∣=63\left|AB\right|=6\sqrt{3}，且曲线 EE 上存在点 CC，使 OA→+OB→=mOC→\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=m\overrightarrow{OC}，求 mm 的值和 △ABC\triangle ABC 的面积 SS.

2006 · 四川 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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