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08
数列
★★★☆☆
设等差数列
{
a
n
}
\{a_{n}\}
{
a
n
}
的公差
d
d
d
不为 0，
a
1
=
9
d
a_{1} = 9d
a
1
=
9
d
. 若
a
k
a_{k}
a
k
是
a
1
a_{1}
a
1
与
a
2
k
a_{2k}
a
2
k
的等比中项，则
k
=
k =
k
=
（ ）
A.
2
2
2
B.
4
4
4
C.
6
6
6
D.
8
8
8
2007 · 天津 · 理 · 第 8 题 · 选择题
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13
数列
★★☆☆☆
设等差数列
{
a
n
}
\{a_{n}\}
{
a
n
}
的公差
d
d
d
是
2
2
2
，前
n
n
n
项的和为
S
n
S_{n}
S
n
，则
lim
n
→
∞
a
n
2
−
n
2
S
n
=
\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{a_n^2 - n^2}{S_n} =
n
→
∞
lim
S
n
a
n
2
−
n
2
=
______.
2007 · 天津 · 理 · 第 13 题 · 填空题
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21
数列
★★★★★
在数列
{
a
n
}
\{a_{n}\}
{
a
n
}
中，
a
1
=
2
a_{1} = 2
a
1
=
2
，
a
n
+
1
=
λ
a
n
+
λ
n
+
1
+
(
2
−
λ
)
2
n
a_{n+1} = \lambda a_{n} + \lambda^{n+1} + (2 - \lambda)2^{n}
a
n
+
1
=
λ
a
n
+
λ
n
+
1
+
(
2
−
λ
)
2
n
（
n
∈
N
∗
n \in \mathbf{N}^{*}
n
∈
N
∗
），其中
λ
>
0
\lambda > 0
λ
>
0
.
(1) 求数列
{
a
n
}
\{a_{n}\}
{
a
n
}
的通项公式. (2) 求数列
{
a
n
}
\{a_{n}\}
{
a
n
}
的前
n
n
n
项和
S
n
S_{n}
S
n
. (3) 证明存在
k
∈
N
∗
k \in \mathbf{N}^{*}
k
∈
N
∗
，使得
a
n
+
1
a
n
⩽
a
k
+
1
a
k
\dfrac{a_{n+1}}{a_n} \leqslant \dfrac{a_{k+1}}{a_k}
a
n
a
n
+
1
⩽
a
k
a
k
+
1
对任意
n
∈
N
∗
n \in \mathbf{N}^{*}
n
∈
N
∗
均成立.
2007 · 天津 · 理 · 第 21 题 · 解答题
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