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10
平面向量
★★★★☆
设两个向量
a
=
(
λ
+
2
,
λ
2
−
cos
2
α
)
\boldsymbol{a} = (\lambda + 2, \lambda^2 - \cos^2 \alpha)
a
=
(
λ
+
2
,
λ
2
−
cos
2
α
)
和
b
=
(
m
,
m
2
+
sin
α
)
\boldsymbol{b} = \left(m, \dfrac{m}{2} + \sin \alpha\right)
b
=
(
m
,
2
m
+
sin
α
)
，其中
λ
\lambda
λ
，
m
m
m
，
α
\alpha
α
为实数. 若
a
=
2
b
\boldsymbol{a} = 2\boldsymbol{b}
a
=
2
b
，则
λ
m
\dfrac{\lambda}{m}
m
λ
的取值范围是（ ）
A.
[
−
6
,
1
]
[-6, 1]
[
−
6
,
1
]
B.
[
4
,
8
]
[4, 8]
[
4
,
8
]
C.
(
−
∞
,
1
]
(-\infty, 1]
(
−
∞
,
1
]
D.
[
−
1
,
6
]
[-1, 6]
[
−
1
,
6
]
2007 · 天津 · 理 · 第 10 题 · 选择题
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15
平面向量
★★★☆☆
如图，在
△
A
B
C
\triangle ABC
△
A
B
C
中，
∠
B
A
C
=
120
∘
\angle BAC = 120^{\circ}
∠
B
A
C
=
12
0
∘
，
A
B
=
2
A
C
=
1
AB = 2AC = 1
A
B
=
2
A
C
=
1
，
D
D
D
是边
B
C
BC
B
C
上一点，
D
C
=
2
B
D
DC = 2BD
D
C
=
2
B
D
，则
A
D
→
⋅
B
C
→
=
\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{BC} =
A
D
⋅
B
C
=
______.
2007 · 天津 · 理 · 第 15 题 · 填空题
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22
解析几何
★★★★★
设椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1
a
2
x
2
+
b
2
y
2
=
1
（
a
>
b
>
0
a > b > 0
a
>
b
>
0
）的左，右焦点分别为
F
1
F_1
F
1
，
F
2
F_2
F
2
，
A
A
A
是椭圆上的一点，
A
F
2
⊥
F
1
F
2
AF_2 \perp F_1F_2
A
F
2
⊥
F
1
F
2
，原点
O
O
O
到直线
A
F
1
AF_1
A
F
1
的距离为
1
3
∣
O
F
1
∣
\dfrac{1}{3}|OF_1|
3
1
∣
O
F
1
∣
.
(1) 证明
a
=
2
b
a = \sqrt{2}b
a
=
2
b
. (2) 设
Q
1
Q_{1}
Q
1
，
Q
2
Q_{2}
Q
2
为椭圆上的两个动点，
O
Q
1
⊥
O
Q
2
OQ_{1} \perp OQ_{2}
O
Q
1
⊥
O
Q
2
，过原点
O
O
O
作直线
Q
1
Q
2
Q_{1}Q_{2}
Q
1
Q
2
的垂线
O
D
OD
O
D
，垂足为
D
D
D
，求点
D
D
D
的轨迹方程.
2007 · 天津 · 理 · 第 22 题 · 解答题
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