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01函数与初等函数★☆☆☆☆
设全集为 R\mathbf{R}，函数 f(x)=1−x2f(x) = \sqrt{1 - x^2} 的定义域为 MM，则 ∁RM\complement_{\mathbf{R}} M 为（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 根式有意义的条件是 1−x2⩾01-x^2\geqslant0，即 −1⩽x⩽1-1\leqslant x\leqslant1，所以 M=[−1,1]M=\left[-1,1\right]. 因此 ∁RM=(−∞,−1)∪(1,+∞)\complement_{\mathbf{R}}M=\left(-\infty,-1\right)\cup\left(1,+\infty\right)，故选 D. \end{solution}
A.
[−1,1]\left[-1, 1\right]
B.
(−1,1)\left(-1, 1\right)
C.
(−∞,−1]∪[1,+∞)\left(-\infty, -1\right] \cup \left[1, +\infty\right)
D.
(−∞,−1)∪(1,+∞)\left(-\infty, -1\right) \cup \left(1, +\infty\right)

2013 · 陕西 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02函数与初等函数★★☆☆☆
根据下列算法语句，当输入 xx 为 6060 时，输出 yy 的值为（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 输入 x=60>50x=60>50，程序执行 Else 分支，因此 y=25+0.6×(60−50)=25+6=31y=25+0.6\times(60-50)=25+6=31，故选 C. \end{solution}
A.
2525
B.
3030
C.
3131
D.
6161

2013 · 陕西 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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08函数与初等函数★★★☆☆
设函数
f(x)={(x−1x)6,x<0,−x,x⩾0,f(x)=\begin{cases} \left(x-\dfrac{1}{x}\right)^6, & x<0,\\ -\sqrt{x}, & x\geqslant0, \end{cases}
则当 x>0x>0 时，f[f(x)]f[f(x)] 表达式的展开式中常数项为（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 当 x>0x>0 时，f(x)=−x<0f(x)=-\sqrt{x}<0，因此应使用函数的第一段：f[f(x)]=(−x−1−x)6=(1x−x)6=x−3(1−x)6f[f(x)]=\left(-\sqrt{x}-\dfrac{1}{-\sqrt{x}}\right)^6=\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}-\sqrt{x}\right)^6=x^{-3}(1-x)^6. 展开得 x−3∑k=06(−1)kC6kxkx^{-3}\sum_{k=0}^{6}(-1)^k\mathrm C_6^k x^k. 常数项对应 k=3k=3，其系数为 (−1)3C63=−20(-1)^3\mathrm C_6^3=-20，故选 A. \end{solution}
A.
−20-20
B.
2020
C.
−15-15
D.
1515

2013 · 陕西 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09不等式★★★☆☆
在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于 300 m2300 \mathrm{~m}^{2} 的内接矩形花园（阴影部分），则其边长 xx（单位 m\mathrm{m}）的取值范围是（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 设矩形的另一边长为 yy. 三角形的底边和高均为 4040，由相似三角形可得矩形上边所在的水平截面长为 40−y40-y，所以 x=40−yx=40-y，即 y=40−xy=40-x. 矩形面积不小于 300300 给出 x(40−x)⩾300x(40-x)\geqslant300，整理得 x2−40x+300⩽0x^2-40x+300\leqslant0，即 (x−10)(x−30)⩽0(x-10)(x-30)\leqslant0. 因而 10⩽x⩽3010\leqslant x\leqslant30，故选 C. \end{solution}
A.
[15,20]\left[15,20\right]
B.
[12,25]\left[12,25\right]
C.
[10,30]\left[10,30\right]
D.
[20,30]\left[20,30\right]

2013 · 陕西 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10函数与初等函数★★★★☆
设 [x][x] 表示不大于 xx 的最大整数，则对任意实数 xx，yy，有（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 选项 A 取 x=12x=\dfrac12，有 [−x]=−1≠0=−[x]\left[-x\right]=-1\neq0=-\left[x\right]. 选项 B 取 x=12x=\dfrac12，有 [2x]=1≠0=2[x]\left[2x\right]=1\neq0=2\left[x\right]. 选项 C 取 x=y=12x=y=\dfrac12，有 [x+y]=1>0=[x]+[y]\left[x+y\right]=1>0=\left[x\right]+\left[y\right]. 对选项 D，设 [x]=m\left[x\right]=m，[y]=n\left[y\right]=n，则可写成 x=m+αx=m+\alpha，y=n+βy=n+\beta，其中 0⩽α0\leqslant\alpha，β<1\beta<1. 于是 [x−y]=m−n+[α−β]\left[x-y\right]=m-n+\left[\alpha-\beta\right]，而 −1<α−β<1-1<\alpha-\beta<1，故 [α−β]⩽0\left[\alpha-\beta\right]\leqslant0，从而 [x−y]⩽m−n=[x]−[y]\left[x-y\right]\leqslant m-n=\left[x\right]-\left[y\right]，故选 D. \end{solution}
A.
[−x]=−[x]\left[-x\right]=-\left[x\right]
B.
[2x]=2[x]\left[2x\right]=2\left[x\right]
C.
[x+y]⩽[x]+[y]\left[x+y\right]\leqslant\left[x\right]+\left[y\right]
D.
[x−y]⩽[x]−[y]\left[x-y\right]\leqslant\left[x\right]-\left[y\right]

2013 · 陕西 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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22解析几何★★★★☆
已知动圆过定点 A(4,0)A(4,0)，且在 yy 轴上截得的弦 MNMN 的长为 88.
(1) 求动圆圆心的轨迹 CC 的方程； (2) 已知点 B(−1,0)B(-1,0)，设不垂直于 xx 轴的直线 ll 与轨迹 CC 交于不同的两点 PP，QQ，若 xx 轴是 ∠PBQ\angle PBQ 的角平分线，证明直线 ll 过定点.

2013 · 陕西 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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