某单位有 $840$ 名职工，现采用系统抽样方法，抽取 $42$ 人做问卷调查，将 $840$ 人按 $1$，$2$，$\cdots$，$840$ 随机编号，则抽取的 $42$ 人中，编号落入区间 $[481,720]$ 的人数为（ ）

\begin{answer} B \end{answer}

\begin{solution} 系统抽样的间隔为 $840\div42=20$. 设随机确定的第一个样本编号为 $r$，其中 $1\leqslant r\leqslant20$，则每个样本组抽取的编号为 $r+20(k-1)$，其中 $k=1$，$2$，$\ldots$，$42$. 区间 $[481,720]$ 恰好由 $[481,500]$，$[501,520]$，$\ldots$，$[701,720]$ 这 $12$ 个连续的长度为 $20$ 的编号组组成，每组恰抽取 1 人，所以人数为 $12$，故选 B. \end{solution}

如图，在矩形区域 $ABCD$ 的 $A$，$C$ 两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域 $ADE$ 和扇形区域 $CBF$（该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常）. 若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是（ ）

\begin{answer} A \end{answer}

\begin{solution} 由图可知矩形的长、宽分别为 $2$，$1$，所以面积为 $2$. 两个信号覆盖区域均为半径 $1$ 的四分之一圆，且除边界外不重叠，覆盖总面积为 $2\times\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2}$. 因此无信号区域的面积为 $2-\dfrac{\pi}{2}$，所求概率为 $\dfrac{2-\frac{\pi}{2}}{2}=1-\dfrac{\pi}{4}$，故选 A. \end{solution}

在一场娱乐晚会上，有 $5$ 位民间歌手（$1$ 至 $5$ 号）登台演唱. 由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手. 各位观众须彼此独立地在选票上选 $3$ 名歌手，其中观众甲是 $1$ 号歌手的歌迷，他必选 $1$ 号，不选 $2$ 号，另在 $3$ 至 $5$ 号中随机选 $2$ 名. 观众乙和丙对 $5$ 位歌手的演唱没有偏爱，因此在 $1$ 至 $5$ 号中随机选 $3$ 名歌手.

(1) 求观众甲选中 $3$ 号歌手且观众乙未选中 $3$ 号歌手的概率； (2) $X$ 表示 $3$ 号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求 $X$ 的分布列和数学期望.