设 $\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$ 为向量，则 $\left|\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}\right|=\left|\boldsymbol{a}\right|\left|\boldsymbol{b}\right|$ 是“$\boldsymbol{a}\parallel\boldsymbol{b}$”的（ ）

\begin{answer} C \end{answer}

\begin{solution} 若 $\boldsymbol{a}$ 或 $\boldsymbol{b}$ 是零向量，则两向量平行，且等式两边都为 $0$. 若两向量都不是零向量，设它们的夹角为 $\theta$，则 $\left|\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}\right|=\left|\boldsymbol{a}\right|\left|\boldsymbol{b}\right|\left|\cos\theta\right|$，所以题设等式成立当且仅当 $\left|\cos\theta\right|=1$，即 $\theta=0$ 或 $\pi$，这也等价于 $\boldsymbol{a}\parallel\boldsymbol{b}$. 因而二者互为充分必要条件，故选 C. \end{solution}

已知向量 $\boldsymbol{a}=\left(\cos x,-\dfrac12\right)$，$\boldsymbol{b}=\left(\sqrt3\sin x,\cos2x\right)$，$x\in\mathbf{R}$，设函数 $f(x)=\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}$.

(1) 求 $f(x)$ 的最小正周期. (2) 求 $f(x)$ 在 $\left[0,\dfrac\pi2\right]$ 上的最大值和最小值.