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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
第二十九届夏季奥林匹克运动会将于 20082008 年 88 月 88 日在北京举行. 若集合 A={A = \{ 参加北京奥运会比赛的运动员 }\}，集合 B={B = \{ 参加北京奥运会比赛的男运动员 }\}，集合 C={C = \{ 参加北京奥运会比赛的女运动员 }\}，则下列关系正确的是（ ）
A.
A⊆BA \subseteq B
B.
B⊆CB \subseteq C
C.
A∩B=CA \cap B = C
D.
B∪C=AB \cup C = A

2008 · 广东 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02复数★☆☆☆☆
已知 0<a<20 < a < 2，复数 z=a+iz = a + \mathrm{i}（i\mathrm{i} 是虚数单位），则 ∣z∣|z| 的取值范围是（ ）
A.
(1,3)(1, \sqrt{3})
B.
(1,5)(1, \sqrt{5})
C.
(1,3)(1, 3)
D.
(1,5)(1, 5)

2008 · 广东 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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03平面向量★☆☆☆☆
已知平面向量 a=(1,2)\boldsymbol{a} = (1, 2)，b=(−2,m)\boldsymbol{b} = (-2, m)，且 a∥b\boldsymbol{a} \parallel \boldsymbol{b}，则 2a+3b=2\boldsymbol{a} + 3\boldsymbol{b} =（ ）
A.
(−2,−4)(-2, -4)
B.
(−3,−6)(-3, -6)
C.
(−4,−8)(-4, -8)
D.
(−5,−10)(-5, -10)

2008 · 广东 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04数列★☆☆☆☆
已知等差数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和为 SnS_n，若 S2=4S_2 = 4，S4=20S_4 = 20，则该数列的公差 d=d =（ ）
A.
77
B.
66
C.
33
D.
22

2008 · 广东 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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05三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=(1+cos⁡2x)sin⁡2xf(x) = (1 + \cos 2x)\sin^2 x，x∈Rx \in \mathbf{R}，则 f(x)f(x) 是（ ）
A.
最小正周期为 π\pi 的奇函数
B.
最小正周期为 π\pi 的偶函数
C.
最小正周期为 π2\frac{\pi}{2} 的奇函数
D.
最小正周期为 π2\frac{\pi}{2} 的偶函数

2008 · 广东 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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06解析几何★☆☆☆☆
经过圆 x2+2x+y2=0x^2 + 2x + y^2 = 0 的圆心 CC 且与直线 x+y=0x + y = 0 垂直的直线方程是（ ）
A.
x−y+1=0x - y + 1 = 0
B.
x−y−1=0x - y - 1 = 0
C.
x+y−1=0x + y - 1 = 0
D.
x+y+1=0x + y + 1 = 0

2008 · 广东 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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07立体几何初步★★☆☆☆
将正三棱柱截去三个角（如图1所示 AA，BB，CC 分别是 △GHI\triangle GHI 三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）
A.
B.
C.
D.

2008 · 广东 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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08集合与逻辑基础★☆☆☆☆
命题“若函数 f(x)=log⁡axf(x) = \log_a x（a>0a > 0，a≠1a \neq 1）在其定义域内是减函数，则 log⁡a2<0\log_a 2 < 0”的逆否命题是（ ）
A.
若 log⁡a2<0\log_a 2 < 0，则函数 f(x)=log⁡axf(x) = \log_a x（a>0a > 0，a≠1a \neq 1）在其定义域内不是减函数
B.
若 log⁡a2⩾0\log_a 2 \geqslant 0，则函数 f(x)=log⁡axf(x) = \log_a x（a>0a > 0，a≠1a \neq 1）在其定义域内不是减函数
C.
若 log⁡a2<0\log_a 2 < 0，则函数 f(x)=log⁡axf(x) = \log_a x（a>0a > 0，a≠1a \neq 1）在其定义域内是减函数
D.
若 log⁡a2⩾0\log_a 2 \geqslant 0，则函数 f(x)=log⁡axf(x) = \log_a x（a>0a > 0，a≠1a \neq 1）在其定义域内是减函数

2008 · 广东 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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09导数及其应用★★★☆☆
设 a∈Ra \in \mathbf{R}，若函数 y=ex+axy = \mathrm{e}^x + ax（x∈Rx \in \mathbf{R}）有大于零的极值点，则（ ）
A.
a<−1a < -1
B.
a>−1a > -1
C.
a>−1ea > -\frac{1}{\mathrm{e}}
D.
a<−1ea < -\frac{1}{\mathrm{e}}

2008 · 广东 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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10不等式★★☆☆☆
设 aa，b∈Rb \in \mathbf{R}，若 a−∣b∣>0a - |b| > 0，则下列不等式中正确的是（ ）
A.
b−a>0b - a > 0
B.
a3+b3<0a^3 + b^3 < 0
C.
b+a>0b + a > 0
D.
a2−b2<0a^2 - b^2 < 0

2008 · 广东 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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11概率与统计★☆☆☆☆
为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了 2020 位工人某天生产该产品的数量. 产品数量的分组区间为 [45,55)[45, 55)，[55,65)[55, 65)，[65,75)[65, 75)，[75,85)[75, 85)，[85,95)[85, 95). 由此得到频率分布直方图如图，则这 2020 名工人中一天生产该产品数量在 [55,75)[55, 75) 的人数是______.

2008 · 广东 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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12不等式★★☆☆☆
若变量 xx，yy 满足
{2x+y⩽40,x+2y⩽50,x⩾0,y⩾0.\begin{cases} 2x + y \leqslant 40,\\ x + 2y \leqslant 50,\\ x \geqslant 0,\\ y \geqslant 0. \end{cases}
，则 z=3x+2yz = 3x + 2y 的最大值是______.

2008 · 广东 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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13计数原理与组合数学★★☆☆☆
阅读如图的程序框图. 若输入 m=4m = 4，n=3n = 3，则输出 a=a =______，i=i =______.

2008 · 广东 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14解析几何★★☆☆☆
已知曲线 C1C_1，C2C_2 的极坐标方程分别为 ρcos⁡θ=3\rho \cos \theta = 3，ρ=4cos⁡θ\rho = 4 \cos \theta（ρ⩾0\rho \geqslant 0，0⩽θ<π20 \leqslant \theta < \frac{\pi}{2}），则曲线 C1C_1 与 C2C_2 交点的极坐标为______.

2008 · 广东 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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15解析几何★★☆☆☆
已知 PAPA 是圆 OO 的切线，切点为 AA，PA=2PA = 2. ACAC 是圆 OO 的直径，PCPC 与圆 OO 交于点 BB，PB=1PB = 1，则圆 OO 的半径 R=R =______.

2008 · 广东 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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16三角函数★★☆☆☆
已知函数 f(x)=Asin⁡(x+φ)f(x) = A \sin (x + \varphi)（A>0A > 0，0<φ<π0 < \varphi < \pi），x∈Rx \in \mathbf{R} 的最大值是 1，其图象经过点 M(π3,12)M\left( \frac{\pi}{3}, \frac{1}{2} \right).
(1) 求 f(x)f(x) 的解析式； (2) 已知 α\alpha，β∈(0,π2)\beta \in \left( 0, \frac{\pi}{2} \right)，且 f(α)=35f(\alpha) = \frac{3}{5}，f(β)=1213f(\beta) = \frac{12}{13}，求 f(α−β)f(\alpha - \beta) 的值.

2008 · 广东 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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17不等式★★★☆☆
某单位用 21602160 万元购得一块空地. 计划在该地块上建造一栋至少 1010 层，每层 2000 平方米2000\text{ 平方米} 的楼房. 经测算，如果将楼房建为 xx 层（x⩾10x \geqslant 10），则每平方米的平均建筑费用为 560+48x560 + 48x（单位：元）. 为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？
（注：平均综合费用 = 平均建筑费用 + 平均购地费用 = 购地总费用建筑总面积\frac{\text{购地总费用}}{\text{建筑总面积}}）

2008 · 广东 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图所示，四棱锥 P−ABCDP - ABCD 的底面 ABCDABCD 是半径为 RR 的圆的内接四边形，其中 BDBD 是圆的直径，∠ABD=60∘\angle ABD = 60^\circ，∠BDC=45∘\angle BDC = 45^\circ. △ADP∼△BAD\triangle ADP \sim \triangle BAD.
(1) 求线段 PDPD 的长； (2) 若 PC=11RPC = \sqrt{11}R，求三棱锥 P−ABCP - ABC 的体积.

2008 · 广东 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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19概率与统计★★★☆☆
某初级中学共有学生 20002000 名，各年级男、女生人数如下表：
男生377377370370zz
已知在全校学生中随机抽取 11 名，抽到初二年级女生的概率是 0.190.19.
(1) 求 xx 的值； (2) 现用分层抽样的方法在全校抽取 4848 名学生，问应在初三年级抽取多少名？ (3) 已知 y⩾245y \geqslant 245，z⩾245z \geqslant 245，求初三年级中女生比男生多的概率.

2008 · 广东 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
设 b>0b > 0，椭圆方程为 x22b2+y2b2=1\frac{x^2}{2b^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1，抛物线方程为 x2=8(y−b)x^2 = 8(y - b). 如图所示，过点 F(0,b+2)F(0, b + 2) 作 xx 轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为 GG. 已知抛物线在点 GG 的切线经过椭圆的右焦点 F1F_1.
(1) 求满足条件的椭圆方程和抛物线方程； (2) 设 AA，BB 分别是椭圆长轴的左，右端点. 试探究在抛物线上是否存在点 PP，使得 △ABP\triangle ABP 为直角三角形；若存在，请指出共有几个这样的点，并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）.

2008 · 广东 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21数列★★★★★
设数列 {an}\{a_n\} 满足 a1=1a_1 = 1，a2=2a_2 = 2，an=13(an−1+2an−2)a_n = \frac{1}{3}(a_{n-1} + 2a_{n-2})（n=3n = 3，44，⋯\cdots）. 数列 {bn}\{b_n\} 满足 b1=1b_1 = 1，bnb_n（n=2n = 2，33，⋯\cdots）是非零整数，且对任意的正整数 mm 和自然数 kk，都有 −1⩽bm+bm+1+⋯+bm+k⩽1-1 \leqslant b_m + b_{m+1} + \cdots + b_{m+k} \leqslant 1.
(1) 求数列 {an}\{a_n\} 和 {bn}\{b_n\} 的通项公式； (2) 若 cn=nanbnc_n = na_nb_n（n=1n = 1，22，…\dots），求数列 {cn}\{c_n\} 的前 nn 项和 SnS_n.

2008 · 广东 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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