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01三角函数★☆☆☆☆
sin⁡585∘\sin 585^{\circ} 的值为（ ）
A.
−22-\frac{\sqrt{2}}{2}
B.
22\frac{\sqrt{2}}{2}
C.
−32-\frac{\sqrt{3}}{2}
D.
32\frac{\sqrt{3}}{2}

2009 · 全国 · 大纲一卷 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02集合与逻辑基础★☆☆☆☆
设集合 A={4,5,7,9}A = \{4, 5, 7, 9\}，B={3,4,7,8,9}B = \{3, 4, 7, 8, 9\}，全集 U=A∪BU = A \cup B，则集合 ∁U(A∩B)\complement_U (A \cap B) 中的元素共有（ ）
A.
3 个3\text{ 个}
B.
4 个4\text{ 个}
C.
5 个5\text{ 个}
D.
6 个6\text{ 个}

2009 · 全国 · 大纲一卷 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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03不等式★★☆☆☆
不等式 ∣x+1x−1∣<1\left|\frac{x + 1}{x - 1}\right| < 1 的解集为（ ）
A.
{x∣0<x<1}∪{x∣x>1}\{x\mid 0 < x < 1\} \cup \{x\mid x > 1\}
B.
{x∣0<x<1}\{x\mid 0 < x < 1\}
C.
{x∣−1<x<0}\{x\mid -1 < x < 0\}
D.
{x∣x<0}\{x\mid x < 0\}

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04三角函数★☆☆☆☆
已知 tan⁡α=4\tan \alpha = 4，cot⁡β=13\cot \beta = \frac{1}{3}，则 tan⁡(α+β)=\tan (\alpha + \beta) =（ ）
A.
711\frac{7}{11}
B.
−711-\frac{7}{11}
C.
713\frac{7}{13}
D.
−713-\frac{7}{13}

2009 · 全国 · 大纲一卷 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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05解析几何★★★☆☆
设双曲线 x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1（a>0a > 0，b>0b > 0）的渐近线与抛物线 y=x2+1y = x^2 + 1 相切，则该双曲线的离心率等于（ ）
A.
3\sqrt{3}
B.
22
C.
5\sqrt{5}
D.
6\sqrt{6}

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06指数函数与对数函数★★☆☆☆
已知函数 f(x)f(x) 的反函数为 g(x)=1+2lg⁡xg(x) = 1 + 2\lg x（x>0x > 0），则 f(1)+g(1)=f(1) + g(1) =（ ）
A.
00
B.
11
C.
22
D.
44

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07计数原理与组合数学★★☆☆☆
甲组有 5 名5\text{ 名}男同学，3 名3\text{ 名}女同学；乙组有 6 名6\text{ 名}男同学，2 名2\text{ 名}女同学. 若从甲，乙两组中各选出 2 名2\text{ 名}同学，则选出的 4 人4\text{ 人}中恰有 1 名1\text{ 名}女同学的不同选法共有（ ）
A.
150 种150\text{ 种}
B.
180 种180\text{ 种}
C.
300 种300\text{ 种}
D.
345 种345\text{ 种}

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08平面向量★★☆☆☆
设非零向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b}，c\boldsymbol{c} 满足 ∣a∣=∣b∣=∣c∣|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{c}|，a+b=c\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} = \boldsymbol{c}，则 ⟨a,b⟩=\langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \rangle =（ ）
A.
150∘150^{\circ}
B.
120∘120^{\circ}
C.
60∘60^{\circ}
D.
30∘30^{\circ}

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09立体几何初步★★★☆☆
已知三棱柱 ABC−A1B1C1ABC - A_{1}B_{1}C_{1} 的侧棱与底面边长都相等，A1A_{1} 在底面 ABCABC 上的射影为 BCBC 的中点，则异面直线 ABAB 与 CC1CC_{1} 所成的角的余弦值为（ ）
A.
34\frac{\sqrt{3}}{4}
B.
54\frac{\sqrt{5}}{4}
C.
74\frac{\sqrt{7}}{4}
D.
34\frac{3}{4}

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10三角函数★★★☆☆
如果函数 y=3cos⁡(2x+φ)y = 3\cos (2x + \varphi) 的图象关于点 (4π3,0)\left(\frac{4\pi}{3},0\right) 中心对称，那么 ∣φ∣|\varphi| 的最小值为（ ）
A.
π6\frac{\pi}{6}
B.
π4\frac{\pi}{4}
C.
π3\frac{\pi}{3}
D.
π2\frac{\pi}{2}

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11立体几何初步★★★★☆
已知二面角 α−l−β\alpha - l - \beta 为 60∘60^{\circ}，动点 PP，QQ 分别在面 α\alpha，β\beta 内，PP 到 β\beta 的距离为 3\sqrt{3}，QQ 到 α\alpha 的距离为 232\sqrt{3}，则 PP，QQ 两点之间距离的最小值为（ ）
A.
2\sqrt{2}
B.
22
C.
232\sqrt{3}
D.
44

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12解析几何★★★☆☆
已知椭圆 C:x22+y2=1C: \frac{x^2}{2} + y^2 = 1 的右焦点为 FF，右准线 ll，点 A∈lA \in l，线段 AFAF 交 CC 于点 BB. 若 FA→=3FB→\overrightarrow{FA} = 3\overrightarrow{FB}，则 ∣AF→∣=|\overrightarrow{AF}| =（ ）
A.
2\sqrt{2}
B.
22
C.
3\sqrt{3}
D.
33

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13计数原理与组合数学★★☆☆☆
(x−y)10(x - y)^{10} 的展开式中，x7y3x^{7}y^{3} 的系数与 x3y7x^{3}y^{7} 的系数之和等于______.

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14数列★★☆☆☆
设等差数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}，若 S9=72S_{9} = 72，则 a2+a4+a9=a_{2} + a_{4} + a_{9} =______.

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15立体几何初步★★☆☆☆
已知 OAOA 为球 OO 的半径，过 OAOA 的中点 MM 且垂直于 OAOA 的平面截球面得到圆 MM，若圆 MM 的面积为 3π3\pi，则球 OO 的表面积等于______.

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16解析几何★★★☆☆
若直线 mm 被两平行线 l1:x−y+1=0l_{1}: x - y + 1 = 0 与 l2:x−y+3=0l_{2}: x - y + 3 = 0 所截得的线段的长为 222\sqrt{2}，则 mm 的倾斜角可以是：
① 15∘15^{\circ}； ② 30∘30^{\circ}； ③ 45∘45^{\circ}； ④ 60∘60^{\circ}； ⑤ 75∘75^{\circ}.
其中正确答案的序号是______.

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17数列★★☆☆☆
设等差数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}，公比是正数的等比数列 {bn}\{b_{n}\} 的前 nn 项和为 TnT_{n}，已知 a1=1a_{1} = 1，b1=3b_{1} = 3，a3+b3=17a_{3} + b_{3} = 17，T3−S3=12T_{3} - S_{3} = 12，求 {an}\{a_{n}\}，{bn}\{b_{n}\} 的通项公式.

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18三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，内角 AA，BB，CC 的对边长分别为 aa，bb，cc，已知 a2−c2=2ba^{2} - c^{2} = 2b，且 sin⁡B=4cos⁡Asin⁡C\sin B = 4\cos A \sin C，求 bb.

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19立体几何初步★★★★☆
如图，四棱锥 S−ABCDS - ABCD 中，底面 ABCDABCD 为矩形，SD⊥SD \perp 底面 ABCDABCD，AD=2AD = \sqrt{2}，DC=SD=2DC = SD = 2，点 MM 在侧棱 SCSC 上，∠ABM=60∘\angle ABM = 60^{\circ}.
(1) 证明：MM 是侧棱 SCSC 的中点； (2) 求二面角 S−AM−BS - AM - B 的大小.

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20概率与统计★★★☆☆
甲，乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3 局3\text{ 局}者获得这次比赛的胜利. 比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.60.6，乙获胜的概率为0.40.4，各局比赛结果相互独立，已知前2 局2\text{ 局}中，甲，乙各胜1 局1\text{ 局}.
(1) 求再赛2 局2\text{ 局}结束这次比赛的概率； (2) 求甲获得这次比赛胜利的概率.

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21导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=x4−3x2+6f(x) = x^4 - 3x^2 + 6.
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 设点 PP 在曲线 y=f(x)y = f(x) 上，若该曲线在点 PP 处的切线 ll 通过坐标原点，求 ll 的方程.

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22解析几何★★★★☆
如图，已知抛物线 E:y2=xE: y^{2} = x 与圆 M:(x−4)2+y2=r2M: (x - 4)^{2} + y^{2} = r^{2}（r>0r > 0）相交于 AA，BB，CC，DD 四个点.
(1) 求 rr 的取值范围； (2) 当四边形 ABCDABCD 的面积最大时，求对角线 ACAC，BDBD 的交点 PP 坐标.

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