复数 $\sqrt{3}-\mathrm{i}$ 的三角形式是______. \begin{answer} $2\left(\cos\frac{11\pi}{6}+\mathrm{i}\sin\frac{11\pi}{6}\right)$ \end{answer}

\begin{solution} 复数 $z=\sqrt3-\mathrm{i}$ 的模为 $|z|=\sqrt{3+1}=2$. 它的实部为正、虚部为负，辐角在第四象限，且 $\cos\theta=\frac{\sqrt3}{2}$、$\sin\theta=-\frac12$，故可取 $\theta=\frac{11\pi}{6}$. 所以 $z=2\left(\cos\frac{11\pi}{6}+\mathrm{i}\sin\frac{11\pi}{6}\right)$，与答案一致. \end{solution}

设向量 $\overrightarrow{OZ}$ 对应于复数 $-2\sqrt{3} + 4\mathrm{i}$. 把 $\overrightarrow{OZ}$ 按顺时针方向旋转 $60^\circ$ 得到 $\overrightarrow{OZ_1}$，则与向量 $\overrightarrow{OZ_1}$ 对应的复数是（ ）

\begin{answer} B \end{answer}

\begin{solution} 顺时针旋转 $60^{\circ}$ 等价于乘以复数 $\cos(-60^{\circ})+\mathrm{i}\sin(-60^{\circ})=\frac12-\frac{\sqrt3}{2}\mathrm{i}$. 因而旋转后的复数为 $(-2\sqrt3+4\mathrm{i})\left(\frac12-\frac{\sqrt3}{2}\mathrm{i}\right)=-\sqrt3+3\mathrm{i}+2\mathrm{i}+2\sqrt3=\sqrt3+5\mathrm{i}$. 所以选第二项. \end{solution}