如果 $f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{x}{1-x^{2}}$，则 $f(x)=$______. \begin{answer} $\frac{x}{x^{2}-1}$ \end{answer}

\begin{solution} 令 $t=\frac1x$，则 $x=\frac1t$. 在原式有意义的范围内， $f(t)=\dfrac{\frac{1}{t}}{1-\frac{1}{t^{2}}}=\dfrac{\frac{1}{t}}{\frac{(t^{2}-1)}{t^{2}}}=\dfrac{t}{t^{2}-1}$. 将字母 $t$ 改写为 $x$，得 $f(x)=\dfrac{x}{x^{2}-1}$. 这里原条件要求代换时 $x\ne0$，$\pm1$，所得函数式在相应定义范围内成立. \end{solution}

函数 $y = \sqrt{\lg(1 - x)}$ 的定义域是（ ）

\begin{answer} B \end{answer}

\begin{solution} 要使 $\sqrt{\lg(1-x)}$ 有意义，首先须有 $1-x>0$，并且根式内还须满足 $\lg(1-x)\geqslant0$. 因为常用对数的底数大于 $1$，所以 $1-x\geqslant1$，即 $x\leqslant0$. 定义域为 $(-\infty,0]$，故选第二项. \end{solution}

下列函数中，为奇函数的是（ ）

\begin{answer} D \end{answer}

\begin{solution} 逐项检验奇函数条件 $f(-x)=-f(x)$. $x^{2}+x^{3}$ 的偶次项不满足该条件；$\log_xx$ 的定义域为 $x>0$ 且 $x\ne1$，不是关于原点对称；$\sin x+1$ 含常数项；$|x|^{3}$ 是偶函数. 对于 $f(x)=\sqrt[3]{x}$，定义域为 $\mathbf{R}$，且 $f(-x)=\sqrt[3]{-x}=-\sqrt[3]{x}=-f(x)$，所以它是奇函数. 故选第四项. \end{solution}

$y = x^{2}$（$x \leqslant 0$）的反函数是（ ）

\begin{answer} C \end{answer}

\begin{solution} 原函数在 $x\leqslant0$ 上为单调递减，值域为 $[0,+\infty)$. 由 $y=x^{2}$ 且 $x\leqslant0$，解得 $x=-\sqrt y$. 交换自变量与因变量，反函数为 $y=-\sqrt x$，其定义域为 $x\geqslant0$. 故选第三项. \end{solution}