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02数列★☆☆☆☆
设数列 {an}\{a_{n}\} 的首项 a1=8a_{1} = 8，且满足 an=2an−1a_{n} = 2a_{n-1}（n=2n = 2，33，⋯\cdots），则 a4a_{4} 的数值是______. \begin{answer} 6464 \end{answer}
\begin{solution} 由递推关系逐项计算，a2=2a1=16a_{2}=2a_{1}=16，a3=2a2=32a_{3}=2a_{2}=32，a4=2a3=64a_{4}=2a_{3}=64. 因此填 6464. \end{solution}

1985 · 广东 · 文 · 第 2 题 · 填空题

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07数列★★☆☆☆
lim⁡n→∞1+4+7+⋯+(3n−2)n(n+1)\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1 + 4 + 7 + \cdots + (3n - 2)}{n(n + 1)} 的值等于______. \begin{answer} 32\frac{3}{2} \end{answer}
\begin{solution} 分子是首项为 11、公差为 33、项数为 nn 的等差数列之和，因此 1+4+7+⋯+(3n−2)=n[1+(3n−2)]2=n(3n−1)21+4+7+\cdots+(3n-2)=\frac{n[1+(3n-2)]}{2}=\frac{n(3n-1)}{2}. 所以 lim⁡n→∞1+4+7+⋯+(3n−2)n(n+1)=lim⁡n→∞3n−12(n+1)=32\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1+4+7+\cdots+(3n-2)}{n(n+1)}=\lim_{n\to\infty}\frac{3n-1}{2(n+1)}=\frac32. \end{solution}

1985 · 广东 · 文 · 第 7 题 · 填空题

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27数列★★★☆☆
用数学归纳法证明：12+32+52+⋯+(2n−1)2=13n(4n2−1)1^{2}+3^{2}+5^{2}+\cdots+(2n-1)^{2}=\frac{1}{3}n(4n^{2}-1)（nn为自然数）.
\begin{solution} 设命题 P(n)P(n) 为 12+32+52+⋯+(2n−1)2=13n(4n2−1)1^{2}+3^{2}+5^{2}+\cdots+(2n-1)^{2}=\frac13n(4n^{2}-1). 当 n=1n=1 时，左边为 11，右边为 13(4−1)=1\frac13(4-1)=1，所以 P(1)P(1) 成立.
假设 k⩾1k\geqslant1 时 P(k)P(k) 成立，即 12+32+52+⋯+(2k−1)2=13k(4k2−1)1^{2}+3^{2}+5^{2}+\cdots+(2k-1)^{2}=\frac13k(4k^{2}-1). 则当 n=k+1n=k+1 时，
12+32+52+⋯+(2k−1)2+(2k+1)2=13k(4k2−1)+(2k+1)2=13k(2k+1)(2k−1)+(2k+1)21^{2}+3^{2}+5^{2}+\cdots+(2k-1)^{2}+(2k+1)^{2} = \frac13k(4k^{2}-1)+(2k+1)^{2} = \frac13k(2k+1)(2k-1)+(2k+1)^{2}
于是
13k(2k+1)(2k−1)+(2k+1)2=13(2k+1)(2k2+5k+3)=13(2k+1)(k+1)(2k+3)\frac13k(2k+1)(2k-1)+(2k+1)^{2} = \frac13(2k+1)(2k^{2}+5k+3) = \frac13(2k+1)(k+1)(2k+3)
再由
13(2k+1)(k+1)(2k+3)=13(k+1)[4(k+1)2−1]\frac13(2k+1)(k+1)(2k+3) = \frac13(k+1)\left[4(k+1)^{2}-1\right]
所以 P(k+1)P(k+1) 也成立. 根据数学归纳法，原等式对所有自然数 nn 都成立. \end{solution}

1985 · 广东 · 文 · 第 27 题 · 解答题

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