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06三角函数★☆☆☆☆
cos⁡π5+cos⁡2π5+cos⁡3π5+cos⁡4π5\cos \frac{\pi}{5} + \cos \frac{2\pi}{5} + \cos \frac{3\pi}{5} + \cos \frac{4\pi}{5} 的值等于______. \begin{answer} 00 \end{answer}
\begin{solution} 利用 cos⁡(π−θ)=−cos⁡θ\cos(\pi-\theta)=-\cos\theta，有 cos⁡4π5=−cos⁡π5\cos\frac{4\pi}{5}=-\cos\frac{\pi}{5}，以及 cos⁡3π5=−cos⁡2π5\cos\frac{3\pi}{5}=-\cos\frac{2\pi}{5}. 因而四项两两相消，原和为 00. \end{solution}

1985 · 广东 · 文 · 第 6 题 · 填空题

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10三角函数★★☆☆☆
函数 y=sin⁡2(2x)y = \sin^{2}(2x) 的最小正周期是______. \begin{answer} π2\frac{\pi}{2} \end{answer}
\begin{solution} 由恒等式 sin⁡2(2x)=1−cos⁡4x2\sin^{2}(2x)=\frac{1-\cos4x}{2}，函数的周期由 cos⁡4x\cos4x 决定. 其最小正周期 TT 满足 4T=2π4T=2\pi，所以 T=π2T=\frac\pi2. \end{solution}

1985 · 广东 · 文 · 第 10 题 · 填空题

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14三角函数★★☆☆☆
下列不等式中，成立的是（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 因为 sin⁡7π8=sin⁡π8\sin\frac{7\pi}{8}=\sin\frac\pi8，而 3π8>π8\frac{3\pi}{8}>\frac\pi8 且正弦函数在 (0,π2)\left(0,\frac\pi2\right) 上递增，所以 sin⁡3π8>sin⁡7π8\sin\frac{3\pi}{8}>\sin\frac{7\pi}{8}，第一项错. cos⁡3π8>0>cos⁡7π8\cos\frac{3\pi}{8}>0>\cos\frac{7\pi}{8}，所以第二项错. 两个正弦值均为正，且 sin⁡3π8>sin⁡7π8\sin\frac{3\pi}{8}>\sin\frac{7\pi}{8}，取倒数后不等号反向，得到 csc⁡3π8<csc⁡7π8\csc\frac{3\pi}{8}<\csc\frac{7\pi}{8}，第三项对. 又 cot⁡3π8>0>cot⁡7π8\cot\frac{3\pi}{8}>0>\cot\frac{7\pi}{8}，第四项错；tan⁡3π8>0>tan⁡7π8\tan\frac{3\pi}{8}>0>\tan\frac{7\pi}{8}，第五项错. 故选第三项. \end{solution}
A.
sin⁡3π8<sin⁡7π8\sin \frac{3\pi}{8} < \sin \frac{7\pi}{8}
B.
cos⁡3π8<cos⁡7π8\cos \frac{3\pi}{8} < \cos \frac{7\pi}{8}
C.
csc⁡3π8<csc⁡7π8\csc \frac{3\pi}{8} < \csc \frac{7\pi}{8}
D.
cot⁡3π8<cot⁡7π8\cot \frac{3\pi}{8} < \cot \frac{7\pi}{8}
E.
tan⁡3π8<tan⁡7π8\tan \frac{3\pi}{8} < \tan \frac{7\pi}{8}

1985 · 广东 · 文 · 第 14 题 · 选择题

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16三角函数★★☆☆☆
已知 180∘<α<270∘180^{\circ} < \alpha < 270^{\circ}，且 sin⁡(270∘+α)=45\sin (270^{\circ} + \alpha) = \frac{4}{5}，则 tan⁡α2=\tan \frac{\alpha}{2} =（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 由 sin⁡(270∘+α)=−cos⁡α\sin(270^{\circ}+\alpha)=-\cos\alpha，题设给出 cos⁡α=−45\cos\alpha=-\frac45. 因为 180∘<α<270∘180^{\circ}<\alpha<270^{\circ}，故 sin⁡α=−35\sin\alpha=-\frac35. 半角公式给出 tan⁡α2=sin⁡α1+cos⁡α=−351−45=−3\tan\frac\alpha2=\dfrac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}=\dfrac{-\frac{3}{5}}{1-\frac{4}{5}}=-3. 因此选第四项. \end{solution}
A.
3
B.
2
C.
−2-2
D.
−3-3
E.
−13-\frac{1}{3}

1985 · 广东 · 文 · 第 16 题 · 选择题

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26三角函数★★★☆☆
证明 tan⁡(α+β)−tan⁡α1+tan⁡βtan⁡(α+β)=sin⁡2β2cos⁡2α\frac{\tan(\alpha + \beta) - \tan\alpha}{1 + \tan\beta\tan(\alpha + \beta)} = \frac{\sin 2\beta}{2\cos^2\alpha}.
\begin{solution} 在各式有意义且原分式分母不为零的范围内，利用正切加法公式，
tan⁡(α+β)−tan⁡α1+tan⁡βtan⁡(α+β)=tan⁡α+tan⁡β1−tan⁡αtan⁡β−tan⁡α1+tan⁡βtan⁡α+tan⁡β1−tan⁡αtan⁡β=tan⁡β(1+tan⁡2α)1+tan⁡2β=sin⁡βcos⁡β⋅1cos⁡2α1cos⁡2β,=sin⁡βcos⁡βcos⁡2α=sin⁡2β2cos⁡2α.\begin{gathered} \frac{\tan(\alpha + \beta) - \tan\alpha}{1 + \tan\beta\tan(\alpha + \beta)} = \frac{\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}-\tan\alpha}{1+\tan\beta\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}}\\ = \frac{\tan\beta(1+\tan^{2}\alpha)}{1+\tan^{2}\beta} = \frac{\frac{\sin\beta}{\cos\beta}\cdot\frac{1}{\cos^{2}\alpha}}{\frac{1}{\cos^{2}\beta}},\\ = \frac{\sin\beta\cos\beta}{\cos^{2}\alpha} = \frac{\sin 2\beta}{2\cos^{2}\alpha}. \end{gathered}
\end{solution}

1985 · 广东 · 文 · 第 26 题 · 解答题

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