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组题
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01★☆☆☆☆
集合 M={1,2,3,4,5}M = \{1, 2, 3, 4, 5\} 的子集个数是（ ）
A.
3232
B.
3131
C.
1616
D.
1515

2001 · 京蒙皖 · 春季 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02★☆☆☆☆
函数 f(x)=axf(x) = a^x（a>0a > 0，a≠1a \neq 1）对于任意的实数 xx，yy 都有（ ）
A.
f(xy)=f(x)f(y)f(xy) = f(x)f(y)
B.
f(xy)=f(x)+f(y)f(xy) = f(x) + f(y)
C.
f(x+y)=f(x)f(y)f(x + y) = f(x)f(y)
D.
f(x+y)=f(x)+f(y)f(x + y) = f(x) + f(y)

2001 · 京蒙皖 · 春季 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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03★☆☆☆☆
lim⁡n→∞C2nnC2n+2n+1=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\mathrm C_{2n}^{n}}{\mathrm C_{2n+2}^{n+1}}=（ ）
A.
00
B.
22
C.
12\frac{1}{2}
D.
14\frac{1}{4}

2001 · 京蒙皖 · 春季 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04★☆☆☆☆
函数 y=−1−xy = -\sqrt{1 - x}（x⩽1x \leqslant 1）的反函数是（ ）
A.
y=x2−1y = x^{2} - 1（−1⩽x⩽0-1 \leqslant x \leqslant 0）
B.
y=x2−1y = x^{2} - 1（0⩽x⩽10 \leqslant x \leqslant 1）
C.
y=1−x2y = 1 - x^{2}（x⩽0x \leqslant 0）
D.
y=1−x2y = 1 - x^{2}（0⩽x⩽10 \leqslant x \leqslant 1）

2001 · 京蒙皖 · 春季 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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05★☆☆☆☆
已知 F1F_{1}，F2F_{2} 是椭圆 x216+y29=1\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1 的两焦点，过点 F2F_{2} 的直线交椭圆于点 AA，BB，若 ∣AB∣=5\left|AB\right| = 5，则 ∣AF1∣+∣BF1∣=\left|AF_{1}\right| + \left|BF_{1}\right| =（ ）
A.
1111
B.
1010
C.
99
D.
1616

2001 · 京蒙皖 · 春季 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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06★☆☆☆☆
设动点 PP 在直线 x=1x = 1 上，OO 为坐标原点. 以 OPOP 为直角边，点 OO 为直角顶点作等腰 Rt△OPQ\mathrm{Rt}\triangle\mathrm{OPQ}，则动点 QQ 的轨迹是（ ）
A.
圆
B.
两条平行直线
C.
抛物线
D.
双曲线

2001 · 京蒙皖 · 春季 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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07★☆☆☆☆
已知 f(x6)=log⁡2xf(x^{6}) = \log_{2}x，那么 f(8)f(8) 等于（ ）
A.
43\frac{4}{3}
B.
88
C.
1818
D.
12\frac{1}{2}

2001 · 京蒙皖 · 春季 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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08★☆☆☆☆
若 AA，BB 是锐角 △ABC\triangle ABC 的两个内角，则点 P(cos⁡B−sin⁡A,sin⁡B−cos⁡A)P(\cos B - \sin A, \sin B - \cos A) 在（ ）
A.
第一象限
B.
第二象限
C.
第三象限
D.
第四象限

2001 · 京蒙皖 · 春季 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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09★☆☆☆☆
如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角（圆锥轴截面中两条母线的夹角）是（ ）
A.
30∘30^{\circ}
B.
45∘45^{\circ}
C.
60∘60^{\circ}
D.
90∘90^{\circ}

2001 · 京蒙皖 · 春季 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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10★☆☆☆☆
若实数 aa，bb 满足 a+b=2a + b = 2，则 3a+3b3^{a} + 3^{b} 的最小值是（ ）
A.
1818
B.
66
C.
232\sqrt{3}
D.
2342\sqrt[4]{3}

2001 · 京蒙皖 · 春季 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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11★☆☆☆☆
如图是正方体的平面展开图.
在这个正方体中，
① BMBM 与 EDED 平行； ② CNCN 与 BEBE 是异面直线； ③ CNCN 与 BMBM 成 60∘60^{\circ} 角； ④ DMDM 与 BNBN 垂直.
以上四个命题中，正确命题的序号是（ ）
A.
\circled1\circled2\circled3\circled{1}\circled{2}\circled{3}
B.
\circled2\circled4\circled{2}\circled{4}
C.
\circled3\circled4\circled{3}\circled{4}
D.
\circled2\circled3\circled4\circled{2}\circled{3}\circled{4}

2001 · 京蒙皖 · 春季 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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12★☆☆☆☆
根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的 nn 个月内累积的需求量 SnS_{n}（万件\text{万件}）近似地满足 Sn=n90(21n−n2−5)S_{n} = \frac{n}{90}(21n - n^{2} - 5)（n=1n = 1，22，⋯\cdots，1212）. 按此预测，在本年度内，需求量超过 1.5 万件1.5\text{ 万件} 的月份是（ ）
A.
5 月5\text{ 月}，6 月6\text{ 月}
B.
6 月6\text{ 月}，7 月7\text{ 月}
C.
7 月7\text{ 月}，8 月8\text{ 月}
D.
8 月8\text{ 月}，9 月9\text{ 月}

2001 · 京蒙皖 · 春季 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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13★☆☆☆☆
已知球内接正方体的表面积为 SS，那么球体积等于______.

2001 · 京蒙皖 · 春季 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14★☆☆☆☆
椭圆 x2+4y2=4x^{2} + 4y^{2} = 4 长轴上一个顶点为 AA，以 AA 为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，该三角形的面积是______.

2001 · 京蒙皖 · 春季 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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15★☆☆☆☆
已知 sin⁡2α+sin⁡2β+sin⁡2γ=1\sin^{2}\alpha + \sin^{2}\beta + \sin^{2}\gamma = 1（α\alpha，β\beta，γ\gamma 均为锐角），那么 cos⁡αcos⁡βcos⁡γ\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma 的最大值等于______.

2001 · 京蒙皖 · 春季 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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16★☆☆☆☆
已知 mm，nn 是直线，α\alpha，β\beta，γ\gamma 是平面，给出下列命题：
① 若 α⊥β\alpha \perp \beta，α∩β=m\alpha \cap \beta = m，n⊥mn \perp m，则 n⊥αn \perp \alpha 或 n⊥βn \perp \beta； ② 若 α∥β\alpha \parallel \beta，α∩γ=m\alpha \cap \gamma = m，β∩γ=n\beta \cap \gamma = n，则 m∥nm \parallel n； ③ 若 mm 不垂直于 α\alpha，则 mm 不可能垂直于 α\alpha 内的无数条直线； ④ 若 α∩β=m\alpha \cap \beta = m，n∥mn \parallel m，且 n⊄αn \not\subset \alpha，n⊄βn \not\subset \beta，则 n∥αn \parallel \alpha 且 n∥βn \parallel \beta.
其中正确的命题的序号是______.

2001 · 京蒙皖 · 春季 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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17★☆☆☆☆
方程 2x2+mx+n=02x^{2} + mx + n = 0 有实根，且 22，mm，nn 为等差数列的前三项. 求该等差数列公差 dd 的取值范围.

2001 · 京蒙皖 · 春季 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18★☆☆☆☆
设函数 f(x)=x+ax+bf(x) = \frac{x + a}{x + b}（a>b>0a > b > 0），求 f(x)f(x) 的单调区间，并证明 f(x)f(x) 在其单调区间上的单调性.

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19★☆☆☆☆
已知 z7=1z^{7} = 1（z∈Cz \in \mathbf{C}，z≠1z \neq 1）.
(1) 证明 1+z+z2+z3+z4+z5+z6=01 + z + z^{2} + z^{3} + z^{4} + z^{5} + z^{6} = 0； (2) 设 zz 的辐角为 α\alpha，求 cos⁡α+cos⁡2α+cos⁡4α\cos \alpha + \cos 2\alpha + \cos 4\alpha 的值.

2001 · 京蒙皖 · 春季 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20★☆☆☆☆
已知 VCVC 是 △ABC\triangle ABC 所在平面的一条斜线，点 NN 是 VV 在平面 ABCABC 上的射影，且在 △ABC\triangle ABC 的高 CDCD 上. AB=aAB = a，VCVC 与 ABAB 之间的距离为 hh，点 M∈VCM \in VC.
(1) 证明 ∠MDC\angle MDC 是二面角 M−AB−CM - AB - C 的平面角； (2) 当 ∠MDC=∠CVN\angle MDC = \angle CVN 时，证明 VC⊥VC \perp 平面 AMBAMB； (3) 若 ∠MDC=∠CVN=θ\angle MDC = \angle CVN = \theta（0<θ<π20 < \theta < \frac{\pi}{2}），求四面体 MABCMABC 的体积.

2001 · 京蒙皖 · 春季 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21★☆☆☆☆
某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为 1 万元/辆1\text{ 万元/辆}，出厂价为 1.2 万元/辆1.2\text{ 万元/辆}，年销售量为 1000 辆1000\text{ 辆}. 本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本. 若每辆车投入成本增加的比例为 xx（0<x<10 < x < 1），则出厂价相应提高的比例为 0.75x0.75x. 同时预计年销售量增加的比例为 0.6x0.6x. 已知年利润 =(出厂价−投入成本)×年销售量=(\text{出厂价} - \text{投入成本}) \times \text{年销售量}.
(1) 写出本年度预计的年利润 yy 与投入成本增加的比例 xx 的关系式； (2) 为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例 xx 应在什么范围内？

2001 · 京蒙皖 · 春季 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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22★☆☆☆☆
已知抛物线 y2=2pxy^{2} = 2px（p>0p > 0）. 过动点 M(a,0)M(a, 0) 且斜率为 1 的直线 ll 与该抛物线交于不同的两点 AA，BB.
(1) 若 ∣AB∣⩽2p\left|AB\right| \leqslant 2p，求 aa 的取值范围； (2) 若线段 ABAB 的垂直平分线交 ABAB 于点 QQ，交 xx 轴于点 NN，试求 Rt△MNQ\mathrm{Rt}\triangle\mathrm{MNQ} 的面积.

2001 · 京蒙皖 · 春季 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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