函数 $y=(\sin x+\cos x)^2$ 的最小正周期为______.

通常用 $a$，$b$，$c$ 分别表示 $\triangle ABC$ 的三个内角 $A$，$B$，$C$ 所对边的边长，$R$ 表示 $\triangle ABC$ 的外接圆半径.

(1) 如图，在以 $O$ 为圆心，半径为 $2$ 的 $\odot O$ 中，$BC$ 和 $BA$ 是 $\odot O$ 的弦，其中 $BC=2$，$\angle ABC=45^\circ$，求弦 $AB$ 的长； (2) 在 $\triangle ABC$ 中，若 $\angle C$ 是钝角，求证：$a^2+b^2<4R^2$； (3) 给定三个正实数 $a$，$b$，$R$，其中 $b\leqslant a$. 问：$a$，$b$，$R$ 满足怎样的关系时，以 $a$，$b$ 为边长，$R$ 为外接圆半径的 $\triangle ABC$ 不存在，存在一个或存在两个（全等三角形算作同一个）？在 $\triangle ABC$ 存在的情况下，用 $a$，$b$，$R$ 表示 $c$.