已知函数 $f(x) = x^{3} + ax^{2} + bx + c$，且 $0 < f(-1) = f(-2) = f(-3) \leqslant 3$，则（ ）

如图，某人在垂直于水平地面 $ABC$ 的墙面前的点 $A$ 处进行射击训练，已知点 $A$ 到墙面的距离为 $AB$，某目标点 $P$ 沿墙面上的射线 $CM$ 移动，此人为了准确瞄准目标点 $P$，需计算由点 $A$ 观察点 $P$ 的仰角 $\theta$ 的大小（仰角 $\theta$ 为直线 $AP$ 与平面 $ABC$ 所成的角）. 若 $AB = 15 \mathrm{~m}$，$AC = 25 \mathrm{~m}$，$\angle BCM = 30^{\circ}$，则 $\tan \theta$ 的最大值是（ ）

已知函数 $f(x) = x^3 + 3|x - a|$ （$a > 0$），若 $f(x)$ 在 $[-1, 1]$ 上的最小值记为 $g(a)$.

(1) 求 $g(a)$； (2) 证明：当 $x \in [-1, 1]$ 时，恒有 $f(x) \leqslant g(a) + 4$.

已知 $\triangle ABP$ 的三个顶点都在抛物线 $C: x^2 = 4y$ 上，$F$ 为抛物线 $C$ 的焦点，点 $M$ 为 $AB$ 的中点，$\overrightarrow{PF} = 3\overrightarrow{FM}$.

(1) 若 $|PF| = 3$，求点 $M$ 的坐标； (2) 求 $\triangle ABP$ 面积的最大值.