已知 $M = \{(x, y) \mid y = x + t(x^2 - x), 1 \leqslant x \leqslant 2, 0 \leqslant t \leqslant 1\}$ 是平面直角坐标系中的点集。设 $d$ 是 $M$ 中两点间的距离的最大值, $S$ 是 $M$ 表示的图形的面积, 则 $(\quad)$

设 $f(x) = x + k \ln(1 + x)$ ($k \neq 0$), $l$ 是曲线在 $(t, f(t))$ 处的切线。

(1) $k = -1$ 时, 求单调区间; (2) 证明: $l$ 不经过点 $(0, 0)$; (3) $k = 1$ 时, $2S_{\triangle ACO} = 15S_{\triangle ABO}$ 是否成立? 有几个点 $A$?