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01三角函数★★☆☆☆
已知 x∈(−π2,0)x \in \left(-\frac{\pi}{2}, 0\right)，cos⁡x=45\cos x = \frac{4}{5}，则 tan⁡2x=\tan 2x =（ ）
A.
724\frac{7}{24}
B.
−724-\frac{7}{24}
C.
247\frac{24}{7}
D.
−247-\frac{24}{7}

2003 · 全国 · 大纲卷 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02解析几何★★★☆☆
圆锥曲线 ρ=8sin⁡θcos⁡2θ\rho = \frac{8\sin\theta}{\cos^2\theta} 的准线方程是（ ）
A.
ρcos⁡θ=−2\rho \cos \theta = -2
B.
ρcos⁡θ=2\rho \cos \theta = 2
C.
ρsin⁡θ=2\rho \sin \theta = 2
D.
ρsin⁡θ=−2\rho \sin \theta = -2

2003 · 全国 · 大纲卷 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03函数与初等函数★★☆☆☆
设函数
f(x)={2−x−1,x⩽0,x12,x>0,f(x) = \begin{cases} 2^{-x} - 1, & x \leqslant 0,\\ x^{\frac{1}{2}}, & x > 0, \end{cases}
若 f(x0)>1f(x_0) > 1，则 x0x_0 的取值范围是（ ）
A.
(−1,1)(-1, 1)
B.
(−1,+∞)(-1, +\infty)
C.
(−∞,−2)∪(0,+∞)(-\infty, -2) \cup (0, +\infty)
D.
(−∞,−1)∪(1,+∞)(-\infty, -1) \cup (1, +\infty)

2003 · 全国 · 大纲卷 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04三角函数★★☆☆☆
函数 y=2sin⁡x(sin⁡x+cos⁡x)y = 2\sin x (\sin x + \cos x) 的最大值为（ ）
A.
1+21 + \sqrt{2}
B.
2−1\sqrt{2} - 1
C.
2\sqrt{2}
D.
2

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05解析几何★★☆☆☆
已知圆 C:(x−a)2+(y−2)2=4C: (x - a)^2 + (y - 2)^2 = 4（a>0a > 0）及直线 l:x−y+3=0l: x - y + 3 = 0，当直线 ll 被 CC 截得的弦长为 232\sqrt{3} 时，aa 的值等于（ ）
A.
2\sqrt{2}
B.
2−22 - \sqrt{2}
C.
2−1\sqrt{2} - 1
D.
2+1\sqrt{2} + 1

2003 · 全国 · 大纲卷 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06导数及其应用★★★☆☆
已知圆锥的底面半径为 RR，高为 3R3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ）
A.
2πR22\pi R^2
B.
94πR2\frac{9}{4}\pi R^2
C.
83πR2\frac{8}{3}\pi R^2
D.
32πR2\frac{3}{2}\pi R^2

2003 · 全国 · 大纲卷 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07数列★★★☆☆
已知方程 (x2−2x+m)(x2−2x+n)=0(x^{2} - 2x + m)(x^{2} - 2x + n) = 0 的四个根组成一个首项为 14\frac{1}{4} 的等差数列，则 ∣m−n∣=|m - n| =（ ）
A.
1
B.
34\frac{3}{4}
C.
12\frac{1}{2}
D.
38\frac{3}{8}

2003 · 全国 · 大纲卷 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08解析几何★★★☆☆
已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F(7,0)F(\sqrt{7}, 0)，直线 y=x−1y = x - 1 与其相交于 MM，NN 两点，MNMN 中点的横坐标为 −23-\frac{2}{3}，则此双曲线的方程是（ ）
A.
x23−y24=1\frac{x^2}{3} - \frac{y^2}{4} = 1
B.
x24−y23=1\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{3} = 1
C.
x25−y22=1\frac{x^2}{5} - \frac{y^2}{2} = 1
D.
x22−y25=1\frac{x^2}{2} -\frac{y^2}{5} = 1

2003 · 全国 · 大纲卷 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09三角函数★★☆☆☆
函数 f(x)=sin⁡xf(x) = \sin x，x∈[π2,3π2]x \in \left[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right] 的反函数 f−1(x)=f^{-1}(x) =（ ）
A.
−arcsin⁡x-\arcsin x，x∈[−1,1]x \in [-1,1]
B.
−π−arcsin⁡x-\pi - \arcsin x，x∈[−1,1]x \in [-1, 1]
C.
π+arcsin⁡x\pi + \arcsin x，x∈[−1,1]x \in [-1, 1]
D.
π−arcsin⁡x\pi - \arcsin x，x∈[−1,1]x \in [-1, 1]

2003 · 全国 · 大纲卷 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10解析几何★★★★☆
已知长方形的四个顶点 A(0,0)A(0,0)，B(2,0)B(2,0)，C(2,1)C(2,1) 和 D(0,1)D(0,1)，一质点从 ABAB 的中点 P0P_0 沿与 ABAB 的夹角 θ\theta 的方向射到 BCBC 上的点 P1P_1 后，依次反射到 CDCD，DADA 和 ABAB 上的点 P2P_2，P3P_3 和 P4P_4（入射角等于反射角）. 设 P4P_4 的坐标为 (x4,0)(x_4,0). 若 1<x4<21 < x_4 < 2，则 tan⁡θ\tan \theta 的取值范围是（ ）
A.
(13,1)\left(\frac{1}{3}, 1\right)
B.
(13,23)\left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right)
C.
(25,12)\left(\frac{2}{5}, \frac{1}{2}\right)
D.
(25,23)\left(\frac{2}{5}, \frac{2}{3}\right)

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11计数原理与组合数学★★★☆☆
lim⁡n→∞C22+C32+C42+⋯+Cn2n(C21+C31+C41+⋯+Cn1)=\displaystyle\lim_{n\to \infty}\frac{\mathrm C_2^2 + \mathrm C_3^2 + \mathrm C_4^2 + \cdots + \mathrm C_n^2}{n(\mathrm C_2^1 + \mathrm C_3^1 + \mathrm C_4^1 + \cdots + \mathrm C_n^1)} =（ ）
A.
3
B.
13\frac{1}{3}
C.
16\frac{1}{6}
D.
6

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12立体几何初步★★★☆☆
一个四面体的所有棱长都为 2\sqrt{2}，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）
A.
3π3\pi
B.
4π4\pi
C.
33π3\sqrt{3}\pi
D.
6π6\pi

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13计数原理与组合数学★★☆☆☆
(x2−12x)9\left(x^{2} - \frac{1}{2x}\right)^{9} 的展开式中 x9x^{9} 系数是______.

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14指数函数与对数函数★★★☆☆
使 log⁡2(−x)<x+1\log_2(-x) < x + 1 成立的 xx 的取值范围是______.

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15计数原理与组合数学★★★★☆
如图，一个地区分为 5 个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有 4 种颜色可供选择，则不同的着色方法共有______种.

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16立体几何初步★★★★☆
下列 5 个正方体图形中，ll 是正方体的一条对角线，点 MM，NN，PP 分别为其所在棱的中点，能得出 l⊥面 MNPl \perp \text{面 } MNP 的图形的序号是______.

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17复数★★★☆☆
已知复数 zz 的辐角为 60∘60^{\circ}，且 ∣z−1∣|z - 1| 是 ∣z∣|z| 和 ∣z−2∣|z - 2| 的等比中项，求 ∣z∣|z|.

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，在直三棱柱 ABC−A1B1C1ABC - A_{1}B_{1}C_{1} 中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90∘\angle ACB = 90^{\circ}，侧棱 AA1=2AA_{1} = 2，DD，EE 分别是 CC1CC_{1} 与 A1BA_{1}B 的中点，点 EE 在平面 ABDABD 上的射影是 △ABD\triangle ABD 的重心 GG.
(1) 求 A1BA_{1}B 与平面 ABDABD 所成角的大小；（结果用反三角函数值表示） (2) 求点 A1A_{1} 到平面 AEDAED 的距离.

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19集合与逻辑基础★★★☆☆
已知 c>0c > 0，设 PP：函数 y=cxy = c^{x} 在 R\mathbf{R} 上单调递减；QQ：不等式 x+∣x−2c∣>1x + |x - 2c| > 1 的解集为 R\mathbf{R}. 如果 PP 和 QQ 有且仅有一个正确，求 cc 的取值范围.

2003 · 全国 · 大纲卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20三角函数★★★☆☆
在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市 OO（如图）的东偏南 θ\theta（θ=arccos⁡210\theta = \arccos \frac{\sqrt{2}}{10}）方向 300 km300\mathrm{~km} 的海面 PP 处，并以 20 km/h20\mathrm{~km}/\mathrm{h} 的速度向西偏北 45∘45^{\circ} 方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域. 当前半径为 60 km60\mathrm{~km}，并以 10 km/h10\mathrm{~km}/\mathrm{h} 的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？

2003 · 全国 · 大纲卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★☆
已知常数 a>0a > 0，在矩形 ABCDABCD 中，AB=4AB = 4，BC=4aBC = 4a，OO 为 ABAB 的中点. 点 EE，FF，GG 分别在 BCBC，CDCD，DADA 上移动，且 BEBC=CFCD=DGDA\frac{BE}{BC} = \frac{CF}{CD} = \frac{DG}{DA}，PP 为 GEGE 与 OFOF 的交点（如图），问是否存在两个定点，使 PP 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.

2003 · 全国 · 大纲卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22数列★★★★☆
设 {an}\{a_{n}\} 是集合 {2s+2t∣0⩽s<t, s,t∈Z}\{2^{s} + 2^{t} \mid 0 \leqslant s < t,\ s, t \in \mathbf{Z}\} 中所有的数从小到大排列成的数列，即 a1=3a_{1} = 3，a2=5a_{2} = 5，a3=6a_{3} = 6，a4=9a_{4} = 9，a5=10a_{5} = 10，a6=12a_{6} = 12，⋯\cdots 将数列 {an}\{a_{n}\} 各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下三角形数表：
3
56
91012
(1) 写出这个三角形数表的第四行，第五行各数； (2) 求 a100a_{100}.

2003 · 全国 · 大纲卷 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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23计数原理与组合数学★★★★☆
设 {bn}\{b_n\} 是集合 {2r+2s+2t∣0⩽r<s<t, r,s,t∈Z}\{2^{r} + 2^{s} + 2^{t} \mid 0 \leqslant r < s < t,\ r, s, t \in \mathbf{Z}\} 中所有的数从小到大排列成的数列，已知 bk=1160b_k = 1160，求 kk.

2003 · 全国 · 大纲卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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