甲，乙两地相距 $S\text{ 千米}$，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过 $c\text{ 千米/时}$. 已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度 $v\text{ 千米/时}$ 的平方成正比，比例系数为 $b$；固定部分为 $a\text{ 元}$.

(1) 把全程运输成本 $y\text{ 元}$ 表示为速度 $v\text{ 千米/时}$ 的函数，并指出这个函数的定义域； (2) 为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？

设圆满足：

① 截 $y$ 轴所得弦长为 $2$； ② 被 $x$ 轴分成两段圆弧，其弧长的比为 $3:1$.

在满足上述两条件的所有圆中，求圆心到直线 $l\colon x - 2y = 0$ 的距离最小的圆的方程.