已知函数 $f(x) = \ln^2 (1 + x) - \frac{x^2}{1 + x}$.

(1) 求函数 $f(x)$ 的单调区间； (2) 若不等式 $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n + \alpha} \leqslant \mathrm{e}$ 对任意的 $n \in \mathbf{N}^*$ 都成立（其中 $\mathrm{e}$ 是自然对数的底数），求 $\alpha$ 的最大值.