数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1}=1$，$a_{2}=2$，$a_{n+2}=\left(1+\cos^{2}\frac{n\pi}{2}\right)a_{n}+\sin^{2}\frac{n\pi}{2}$，$n=1$，$2$，$3$，$\cdots$.

(1) 求 $a_{3}$，$a_{4}$ 并求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式； (2) 设 $b_{n} = \frac{a_{2n - 1}}{a_{2n}}$，$S_{n} = b_{1} + b_{2} + \dots + b_{n}$. 证明：当 $n \geqslant 6$ 时，$|S_{n} - 2| < \frac{1}{n}$.