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03三角函数★★★☆☆
求证：cot⁡22∘30′=1+2\cot22^{\circ}30'=1+\sqrt2. （注）cot⁡\cot 是余切的符号.

1957 · 全国 · 第 3 题 · 解答题

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07三角函数★★★★☆
若 △ABC\triangle ABC 的内切圆半径为 rr，求证 BCBC 边上的高 AD=2rcos⁡B2cos⁡C2sin⁡A2AD=\dfrac{2r\cos\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2}}{\sin\frac{A}{2}}.

1957 · 全国 · 第 7 题 · 解答题

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08三角函数★★★☆☆
若 △ABC\triangle ABC 为锐角三角形，以 BCBC 边为直径作圆，并从 AA 作此圆的切线 ADAD 与圆切于 DD. 又在 ABAB 边上取 AEAE 等于 ADAD，并过 EE 作 ABAB 的垂线与 ACAC 边的延长线交于 FF，求证：
(1) AE:AB=AC:AFAE:AB=AC:AF； (2) △ABC\triangle ABC 的面积 =△AEF=\triangle AEF 的面积.

1957 · 全国 · 第 8 题 · 解答题

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09函数与初等函数★★★★☆
(1) 求证：方程 x3−(2+1)x2+(2−q)x+q=0x^{3}-(\sqrt2+1)x^{2}+(\sqrt2-q)x+q=0 的一个根是 11. (2) 设这个方程的三个根是一个 △ABC\triangle ABC 的三个内角的正弦 sin⁡A\sin A，sin⁡B\sin B，sin⁡C\sin C，求 AA，BB，CC 的度数及 qq 的数值.

1957 · 全国 · 第 9 题 · 解答题

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