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01集合与逻辑基础★★☆☆☆
已知全集 I=NI = \mathbf{N}，集合 A={x∣x=2n,n∈N}A = \{x \mid x = 2n, n \in \mathbf{N}\}，B={x∣x=4n,n∈N}B = \{x \mid x = 4n, n \in \mathbf{N}\}，则（ ）
A.
I=A∪BI = A\cup B
B.
I=A‾∪BI = \overline{A}\cup B
C.
I=A∪B‾I = A\cup \overline{B}
D.
I=A‾∪B‾I = \overline{A}\cup \overline{B}

1996 · 全国 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02指数函数与对数函数★★☆☆☆
当 a>1a > 1 时，在同一坐标系中，函数 y=a−xy = a^{-x} 与 y=log⁡axy = \log_a x 的图象（ ）
A.
B.
C.
D.

1996 · 全国 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03三角函数★★☆☆☆
若 sin⁡2x>cos⁡2x\sin^2 x > \cos^2 x，则 xx 的取值范围是（ ）
A.
{x∣2kπ−34π<x<2kπ+14π,k∈Z}\left\{x\mid 2k\pi -\frac{3}{4}\pi < x < 2k\pi +\frac{1}{4}\pi ,k\in \mathbf{Z}\right\}
B.
{x∣2kπ+14π<x<2kπ+54π,k∈Z}\left\{x\mid 2k\pi +\frac{1}{4}\pi < x < 2k\pi +\frac{5}{4}\pi ,k\in \mathbf{Z}\right\}
C.
{x∣kπ−14π<x<kπ+14π,k∈Z}\left\{x\mid k\pi -\frac{1}{4}\pi < x < k\pi + \frac{1}{4}\pi ,k\in \mathbf{Z}\right\}
D.
{x∣kπ+14π<x<kπ+34π,k∈Z}\left\{x\mid k\pi +\frac{1}{4}\pi < x < k\pi + \frac{3}{4}\pi ,k\in \mathbf{Z}\right\}

1996 · 全国 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04复数★★☆☆☆
复数 (2+2i)4(1−3i)5\frac{(2 + 2\mathrm{i})^4}{\left(1 - \sqrt{3}\mathrm{i}\right)^5} 等于（ ）
A.
1+3i1 + \sqrt{3}\mathrm{i}
B.
−1+3i-1 + \sqrt{3}\mathrm{i}
C.
1−3i1 - \sqrt{3}\mathrm{i}
D.
−1−3i-1 - \sqrt{3}\mathrm{i}

1996 · 全国 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05立体几何初步★★☆☆☆
如果直线 ll，mm 与平面 α\alpha，β\beta，γ\gamma 满足：l=β∩γl = \beta \cap \gamma，l∥αl \parallel \alpha，m⊂αm \subset \alpha，m⊥γm \perp \gamma，那么必有（ ）
A.
α⊥γ\alpha \perp \gamma 且 l⊥ml \perp m
B.
α⊥γ\alpha \perp \gamma 且 m∥βm \parallel \beta
C.
m∥βm \parallel \beta 且 l⊥ml \perp m
D.
α∥β\alpha \parallel \beta 且 α⊥γ\alpha \perp \gamma

1996 · 全国 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06三角函数★★☆☆☆
当 −π2⩽x⩽π2-\frac{\pi}{2} \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2}，f(x)=sin⁡x+3cos⁡xf(x) = \sin x + \sqrt{3} \cos x 的（ ）
A.
最大值是 11，最小值是 −1-1
B.
最大值是 11，最小值是 −12-\frac{1}{2}
C.
最大值是 22，最小值是 −2-2
D.
最大值是 22，最小值是 −1-1

1996 · 全国 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07解析几何★★☆☆☆
椭圆
{x=3+3cos⁡φ,y=−1+5sin⁡φ\begin{cases} x &= 3 + 3\cos\varphi,\\ y &= -1 + 5\sin\varphi \end{cases}
的两个焦点坐标是（ ）
A.
(−3,5)(-3,5)，(−3,−3)(-3,-3)
B.
(3,3)(3,3)，(3,−5)(3,-5)
C.
(1,1)(1,1)，(−7,1)(-7,1)
D.
(7,−1)(7,-1)，(−1,−1)(-1,-1)

1996 · 全国 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08三角函数★★★☆☆
若 0<α<π20 < \alpha < \frac{\pi}{2}，则 arcsin⁡[cos⁡(π2+α)]+arccos⁡[sin⁡(π+α)]\arcsin \left[\cos \left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)\right] + \arccos \left[\sin (\pi + \alpha)\right] 等于（ ）
A.
π2\frac{\pi}{2}
B.
−π2-\frac{\pi}{2}
C.
π2−2α\frac{\pi}{2}-2\alpha
D.
−π2−2α-\frac{\pi}{2}-2\alpha

1996 · 全国 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09立体几何初步★★★☆☆
将边长为 aa 的正方形 ABCDABCD 沿对角线 ACAC 折起，使得 BD=aBD = a，则三棱锥 D−ABCD - ABC 的体积为（ ）
A.
a36\frac{a^3}{6}
B.
a312\frac{a^3}{12}
C.
3a312\frac{\sqrt{3} a^3}{12}
D.
212a3\frac{\sqrt{2}}{12} a^3

1996 · 全国 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10数列★★★☆☆
等比数列 {an}\{a_{n}\} 的首项 a1=−1a_1 = -1，前 nn 项和为 SnS_{n}，若 S10S5=3132\frac{S_{10}}{S_5} = \frac{31}{32}，则 lim⁡n→∞Sn\displaystyle\lim_{n\to \infty} S_n 等于（ ）
A.
23\frac{2}{3}
B.
−23-\frac{2}{3}
C.
22
D.
−2-2

1996 · 全国 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11解析几何★★★☆☆
椭圆的极坐标方程为 ρ=32−cos⁡θ\rho = \frac{3}{2 - \cos\theta}，则它在短轴上的两个顶点的极坐标是（ ）
A.
(3,0)(3,0)，(1,π)(1,\pi)
B.
(3,π2)\left(\sqrt{3},\frac{\pi}{2}\right)，(3,3π2)\left(\sqrt{3},\frac{3\pi}{2}\right)
C.
(2,π3)\left(2,\frac{\pi}{3}\right)，(2,5π3)\left(2,\frac{5\pi}{3}\right)
D.
(7,arctan⁡32)\left(\sqrt{7}, \arctan \frac{\sqrt{3}}{2}\right)，(7,2π−arctan⁡32)\left(\sqrt{7}, 2\pi - \arctan \frac{\sqrt{3}}{2}\right)

1996 · 全国 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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12数列★★★☆☆
等差数列 {an}\{a_{n}\} 的前 mm 项和为 3030，前 2m2m 项和为 100100，则它的前 3m3m 项和为（ ）
A.
130130
B.
170170
C.
210210
D.
260260

1996 · 全国 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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13解析几何★★★☆☆
设双曲线 x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1（0<a<b0 < a < b）的半焦距为 cc，直线 ll 过 (a,0)(a,0)，(0,b)(0,b) 两点，已知原点到直线 ll 的距离为 34c\frac{\sqrt{3}}{4} c，则双曲线的离心率为（ ）
A.
22
B.
3\sqrt{3}
C.
2\sqrt{2}
D.
233\frac{2\sqrt{3}}{3}

1996 · 全国 · 理 · 第 13 题 · 选择题

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14导数及其应用★★★☆☆
母线长为 11 的圆锥体积最大时，其侧面展开图圆心角 φ\varphi 等于（ ）
A.
223π\frac{2\sqrt{2}}{3}\pi
B.
233π\frac{2\sqrt{3}}{3}\pi
C.
2π\sqrt{2}\pi
D.
263π\frac{2\sqrt{6}}{3}\pi

1996 · 全国 · 理 · 第 14 题 · 选择题

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15函数与初等函数★★☆☆☆
设 f(x)f(x) 是 (−∞,+∞)(- \infty, + \infty) 上的奇函数，f(x+2)=−f(x)f(x + 2) = -f(x)，当 0⩽x⩽10 \leqslant x \leqslant 1 时，f(x)=xf(x) = x，则 f(7.5)f(7.5) 等于（ ）
A.
0.50.5
B.
−0.5-0.5
C.
1.51.5
D.
−1.5-1.5

1996 · 全国 · 理 · 第 15 题 · 选择题

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16解析几何★★☆☆☆
已知圆 x2+y2−6x−7=0x^{2} + y^{2} - 6x - 7 = 0 与抛物线 y2=2pxy^{2} = 2px（p>0p > 0）的准线相切，则 p=p =______.

1996 · 全国 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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17计数原理与组合数学★★☆☆☆
正六边形的中心和顶点共 77 个点，以其中 33 个点为顶点的三角形共有______个. （用数字作答）

1996 · 全国 · 理 · 第 17 题 · 填空题

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18三角函数★★☆☆☆
tan⁡20∘+tan⁡40∘+3tan⁡20∘tan⁡40∘\tan 20^{\circ} + \tan 40^{\circ} + \sqrt{3}\tan 20^{\circ}\tan 40^{\circ} 的值是______.

1996 · 全国 · 理 · 第 18 题 · 填空题

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19立体几何初步★★★☆☆
如图，正方形 ABCDABCD 所在平面与正方形 ABEFABEF 所在平面成 60∘60^{\circ} 的二面角，则异面直线 ADAD 与 BFBF 所成角的余弦值是______.

1996 · 全国 · 理 · 第 19 题 · 填空题

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20不等式★★★☆☆
解不等式：log⁡a(1−1x)>1\log_a\left(1 - \frac{1}{x}\right) > 1.

1996 · 全国 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21三角函数★★★☆☆
已知 △ABC\triangle ABC 的三个内角 AA，BB，CC 满足：A+C=2BA + C = 2B，1cos⁡A+1cos⁡C=−2cos⁡B\frac{1}{\cos A} + \frac{1}{\cos C} = -\frac{\sqrt{2}}{\cos B}，求 cos⁡A−C2\cos \frac{A - C}{2} 的值.

1996 · 全国 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22立体几何初步★★★☆☆
如图，在正三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_{1}B_{1}C_{1} 中，E∈BB1E \in BB_{1}，截面 A1EC⊥A_{1}EC \perp 侧面 AC1AC_{1}.
(1) 求证：BE=EB1BE = EB_{1}； (2) 若 AA1=A1B1AA_{1} = A_{1}B_{1}，求平面 A1ECA_{1}EC 与平面 A1B1C1A_{1}B_{1}C_{1} 所成二面角（锐角）的度数.

1996 · 全国 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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23函数与初等函数★★★★☆
某地现有耕地 10000 公顷10000\text{ 公顷}，规划 1010 年后粮食单产比现在增加 22%22\%，人均粮食占有量比现在提高 10%10\%. 如果人口年增长率为 1%1\%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到 1 公顷1\text{ 公顷}）. （粮食单产 =总产量耕地面积=\frac{\text{总产量}}{\text{耕地面积}}，人均粮食占有量 =总产量总人口数=\frac{\text{总产量}}{\text{总人口数}}）

1996 · 全国 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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24解析几何★★★★★
已知 l1l_{1}，l2l_{2} 是过点 P(−2,0)P(-\sqrt{2},0) 的两条互相垂直的直线，且 l1l_{1}，l2l_{2} 与双曲线 y2−x2=1y^{2} - x^{2} = 1 各有两个交点，分别为 A1A_{1}，B1B_{1} 和 A2A_{2}，B2B_{2}.
(1) 求 l1l_{1} 的斜率 k1k_{1} 的取值范围； (2) 若 ∣A1B1∣=5∣A2B2∣\left|A_{1}B_{1}\right|=\sqrt{5}\left|A_{2}B_{2}\right|，求 l1l_{1}，l2l_{2} 的方程.

1996 · 全国 · 理 · 第 24 题 · 解答题

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25函数与初等函数★★★★★
已知 aa，bb，cc 是实数，函数 f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c，g(x)=ax+bg(x) = ax + b，当 −1⩽x⩽1-1 \leqslant x \leqslant 1 时，∣f(x)∣⩽1\left|f(x)\right| \leqslant 1.
(1) 证明：∣c∣⩽1\left|c\right| \leqslant 1； (2) 证明：当 −1⩽x⩽1-1 \leqslant x \leqslant 1 时，∣g(x)∣⩽2\left|g(x)\right| \leqslant 2； (3) 设 a>0a > 0，当 −1⩽x⩽1-1 \leqslant x \leqslant 1 时，g(x)g(x) 的最大值为 22，求 f(x)f(x).

1996 · 全国 · 理 · 第 25 题 · 解答题

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