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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
设集合 S={x∣x2+2x=0,x∈R}S = \{x \mid x^2 + 2x = 0, x \in \mathbf{R}\}，T={x∣x2−2x=0,x∈R}T = \{x \mid x^2 - 2x = 0, x \in \mathbf{R}\}，则 S∩T=S \cap T =（ ）
A.
{0}\{0\}
B.
{0,2}\{0, 2\}
C.
{−2,0}\{-2, 0\}
D.
{−2,0,2}\{-2, 0, 2\}

2013 · 广东 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02函数与初等函数★☆☆☆☆
函数 y=lg⁡(x+1)x−1y = \frac{\lg(x + 1)}{x - 1} 的定义域是（ ）
A.
(−1,+∞)(-1,+\infty)
B.
[−1,+∞)[-1,+\infty)
C.
(−1,1)∪(1,+∞)(-1,1)\cup(1,+\infty)
D.
[−1,1)∪(1,+∞)[-1, 1) \cup (1, +\infty)

2013 · 广东 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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03复数★★☆☆☆
若 i(x+yi)=3+4i\mathrm{i} (x + y\mathrm{i}) = 3 + 4\mathrm{i}，xx，y∈Ry \in \mathbf{R}，则复数 x+yix + y\mathrm{i} 的模是（ ）
A.
22
B.
33
C.
44
D.
55

2013 · 广东 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04三角函数★☆☆☆☆
已知 sin⁡(5π2+α)=15\sin \left(\frac{5\pi}{2} + \alpha\right) = \frac{1}{5}，那么 cos⁡α=\cos \alpha =（ ）
A.
−25-\frac{2}{5}
B.
−15-\frac{1}{5}
C.
15\frac{1}{5}
D.
25\frac{2}{5}

2013 · 广东 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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05数列★☆☆☆☆
执行如图所示的程序框图，若输入 nn 的值为 3 ，则输出 ss 的值是（ ）
A.
11
B.
22
C.
44
D.
77

2013 · 广东 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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06立体几何初步★★☆☆☆
某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）
A.
16\frac{1}{6}
B.
13\frac{1}{3}
C.
23\frac{2}{3}
D.
11

2013 · 广东 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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07解析几何★★☆☆☆
垂直于直线 y=x+1y = x + 1 且与圆 x2+y2=1x^{2} + y^{2} = 1 相切于第一象限的直线方程是（ ）
A.
x+y−2=0x + y - \sqrt{2} = 0
B.
x+y+1=0x + y + 1 = 0
C.
x+y−1=0x + y - 1 = 0
D.
x+y+2=0x + y + \sqrt{2} = 0

2013 · 广东 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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08立体几何初步★★☆☆☆
设 ll 为直线，α\alpha，β\beta 是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A.
若 l∥α,l∥βl \parallel \alpha, l \parallel \beta，则 α∥β\alpha \parallel \beta
B.
若 l⊥αl \perp \alpha，l⊥βl \perp \beta，则 α∥β\alpha \parallel \beta
C.
若 l⊥αl \perp \alpha，l∥βl \parallel \beta，则 α∥β\alpha \parallel \beta
D.
若 α⊥β\alpha \perp \beta，l∥αl \parallel \alpha，则 l⊥βl \perp \beta

2013 · 广东 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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09解析几何★★☆☆☆
已知中心在原点的椭圆 CC 的右焦点为 F(1,0)F(1,0). 离心率等于 12\frac{1}{2}，则 CC 的方程是（ ）
A.
x23+y24=1\frac{x^2}{3} +\frac{y^2}{4} = 1
B.
x24+y23=1\frac{x^2}{4} +\frac{y^2}{\sqrt{3}} = 1
C.
x24+y22=1\frac{x^2}{4} +\frac{y^2}{2} = 1
D.
x24+y23=1\frac{x^2}{4} +\frac{y^2}{3} = 1

2013 · 广东 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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10平面向量★★★☆☆
设 a\boldsymbol{a} 是已知的平面向量且 a≠0\boldsymbol{a} \neq 0. 关于向量 a\boldsymbol{a} 的分解，有如下四个命题：
① 给定向量 b\boldsymbol{b}，总存在向量 c\boldsymbol{c}，使 a=b+c\boldsymbol{a} = \boldsymbol{b} + \boldsymbol{c}. ② 给定向量 b\boldsymbol{b} 和 c\boldsymbol{c}，总存在实数 λ\lambda 和 μ\mu，使 a=λb+μc\boldsymbol{a} = \lambda \boldsymbol{b} + \mu \boldsymbol{c}； ③ 给定单位向量 b\boldsymbol{b} 和正数 μ\mu，总存在单位向量 c\boldsymbol{c} 和实数 λ\lambda，使 a=λb+μc\boldsymbol{a} = \lambda \boldsymbol{b} + \mu \boldsymbol{c}. ④ 给定正数 λ\lambda 和 μ\mu，总存在单位向量 b\boldsymbol{b} 和单位向量 c\boldsymbol{c}，使 a=λb+μc\boldsymbol{a} = \lambda \boldsymbol{b} + \mu \boldsymbol{c}.
上述命题中的向量 b\boldsymbol{b}，c\boldsymbol{c} 和 a\boldsymbol{a} 在同一平面内且两两不共线， 则真命题的个数是（ ）
A.
11
B.
22
C.
33
D.
44

2013 · 广东 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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11数列★☆☆☆☆
设数列 {an}\{a_{n}\} 是首项为 1，公比为 −2-2 的等比数列，则 a1+∣a2∣+a3+∣a4∣=a_{1} + |a_{2}| + a_{3} + |a_{4}| =______.

2013 · 广东 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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12导数及其应用★☆☆☆☆
若曲线 y=ax2−ln⁡xy = ax^2 - \ln x 在点 (1,a)(1, a) 处的切线平行于 xx 轴，则 a=a =______.

2013 · 广东 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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13解析几何★★☆☆☆
已知变量 xx，yy 满足约束条件
{x−y+3⩾0,−1⩽x⩽1,y⩾1,\begin{cases} x - y + 3 \geqslant 0,\\ -1 \leqslant x \leqslant 1,\\ y \geqslant 1, \end{cases}
则 z=x+yz = x + y 的最大值是______.

2013 · 广东 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14解析几何★★☆☆☆
已知曲线 CC 的极坐标方程为 ρ=2cos⁡θ\rho = 2\cos \theta，以极点为原点，极轴为 xx 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线 CC 的参数方程为______.

2013 · 广东 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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15平面向量★★★☆☆
如图，在矩形 ABCDABCD 中，AB=3AB = \sqrt{3}，BC=3BC = 3，BE⊥ACBE \perp AC，垂足为 EE，则 ED=ED =______.

2013 · 广东 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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16三角函数★★☆☆☆
已知函数 f(x)=2cos⁡(x−π12)f(x) = \sqrt{2}\cos \left(x - \frac{\pi}{12}\right)，x∈Rx \in \mathbf{R}.
(1) 求 f(π3)f\left(\frac{\pi}{3}\right) 的值； (2) 若 cos⁡θ=35\cos\theta=\frac{3}{5}，θ∈(3π2,2π)\theta\in\left(\frac{3\pi}{2},2\pi\right)，求 f(θ−π6)f\left(\theta-\frac{\pi}{6}\right).

2013 · 广东 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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17概率与统计★★★☆☆
从一批苹果中，随机抽取 5050 个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：
分组（重量）[80,85)[80,85)[85,90)[85,90)[90,95)[90,95)[95,100)[95,100)
(1) 根据频数分布表计算苹果的重量在 [90,95)[90,95) 的频率； (2) 用分层抽样的方法从重量在 [80,85)[80,85) 和 [95,100)[95,100) 的苹果中共抽取 4 个，其中重量在 [80,85)[80,85) 的有几个？ (3) 在（2）中抽出的 4 个苹果中，任取 2 个，求重量在 [80,85)[80,85) 和 [95,100)[95,100) 中各有 1 个的概率.

2013 · 广东 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图①，在边长为 1 的等边三角形 ABCABC 中，DD，EE 分别是 ABAB，ACAC 上的点，AD=AEAD = AE，FF 是 BCBC 的中点，AFAF 与 DEDE 交于点 GG，将 △ABF\triangle ABF 沿 AFAF 折起，得到如图②所示的三棱锥 A−BCFA - BCF，其中 BC=22BC = \frac{\sqrt{2}}{2}.
(1) 证明： DE∥DE \parallel 平面 BCFBCF； (2) 证明： CF⊥CF \perp 平面 ABFABF； (3) 当 AD=23AD = \frac{2}{3} 时，求三棱锥 F−DEGF - DEG 的体积 VF−DEGV_{F - DEG}.

2013 · 广东 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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19数列★★★★☆
设各项均为正数的数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}，满足 4Sn=an+12−4n−14S_{n} = a_{n+1}^{2} - 4n - 1，n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}，且 a2a_{2}，a5a_{5}，a14a_{14} 构成等比数列.
(1) 证明： a2=4a1+5a_{2} = \sqrt{4a_{1} + 5}； (2) 求数列 {an}\{a_n\} 的通项公式； (3) 证明：对一切正整数 nn，有 1a1a2+1a2a3+⋯+1anan+1<12\frac{1}{a_1 a_2} + \frac{1}{a_2 a_3} + \cdots + \frac{1}{a_n a_{n+1}} < \frac{1}{2}.

2013 · 广东 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20解析几何★★★★★
已知抛物线 CC 的顶点为原点，其焦点 F(0,c)F(0, c)（c>0c > 0）到直线 ll：x−y−2=0x - y - 2 = 0 的距离为 322\frac{3\sqrt{2}}{2}. 设 PP 为直线 ll 上的点，过点 PP 作抛物线 CC 的两条切线 PAPA，PBPB，其中 AA，BB 为切点.
(1) 求抛物线 CC 的方程； (2) 当点 P(x0,y0)P(x_0, y_0) 为直线 ll 上的定点时，求直线 ABAB 的方程； (3) 当点 PP 在直线 ll 上移动时，求 ∣AF∣⋅∣BF∣|AF| \cdot |BF| 的最小值.

2013 · 广东 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★☆
设函数 f(x)=x3−kx2+xf(x) = x^3 - kx^2 + x（x∈Rx \in \mathbf{R}）.
(1) 当 k=1k = 1 时，求函数 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 当 k<0k < 0 时，求函数 f(x)f(x) 在 [k,−k][k, -k] 上的最小值 mm 和最大值 MM.

2013 · 广东 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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