已知二次函数 $y = g(x)$ 的导函数的图象与直线 $y = 2x$ 平行，且 $y = g(x)$ 在 $x = -1$ 处取得极小值 $m - 1$（$m \neq 0$）. 设 $f(x) = \frac{g(x)}{x}$.

(1) 若曲线 $y = f(x)$ 上的点 $P$ 到点 $Q(0,2)$ 的距离的最小值为 $\sqrt{2}$，求 $m$ 的值； (2) $k$（$k \in \mathbf{R}$）如何取值时，函数 $y = f(x) - kx$ 存在零点，并求出零点.